数学应当有一个好的解释

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数学应当有一个好的解释

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 09 月 07 日 17:57 陕西

众所周知，很多时候数学的精髓在于证明，但有些现象也让我们反思证明存在的意义，比方说当你在看矩阵乘法时满足结合律的证明时，你一定会想这样的证明虽然是正确的，可是为什么我好像还是不懂，这是因为此时你需要的不是证明而是一个解释。

当然我们也得大方地承认，数学证明和数学解释之间的关系很微妙。对于证明来说，证明的构成实际上取决于写证明的数学家和目标读者之间的关系。以研究论文为例，作者必须提供足以说服对该领域有一定了解的读者相信该主张是正确的论据。这可能涉及一些符号推理，但通常主要是文字，使用数学符号来表示相关对象，也许还有一些代数运算。当向你的同行展示新结果时，重要的是让他们相信你是正确的，如果他们真的是你的同行，那么理论和证明应该足以让他们理解它。



可当作为一个教师，情况又会变得不同，对让学生从概念上理解现有的数学领域而言，好的数学解释远胜于证明。这也是很多科普博主在做的事，以私心而言，我更希望我的学生能够对我提供一种解释，我不需要他们用数学证明来说服我，因为我已经知道了，可是很多时候这项能力被一些教师给磨灭了。

或许在你的印像中曾经出现这样的场景，当你咿呀咿呀的想你的老师阐述你对某个数学事物的理解，他严肃的告诉你说，你这样不对，应该怎样怎样，我只能说很遗憾，他错过了一种好的数学解释的可能。有些数学家把数学的教育大致分为三个阶段：

● “预备”阶段，以非正式、直观的方式教授数学，基于示例、模糊概念和手势。（例如，微积分通常首先以斜率、面积、变化率等形式介绍。）重点是计算而不是理论。这个阶段通常持续到本科早期。

● “严格”阶段，在这个阶段，学生被教导，为了“正确”地做数学，需要以更精确和更正式的方式工作和思考（例如，使用 epsilon 和 delta 重新做微积分）。现在的重点主要放在理论上；并且学生应该能够轻松地操作抽象的数学对象，而不必过多关注这些对象的实际“含义”。这个阶段通常发生在本科后期和研究生早期。

● “后严格”阶段，在这个阶段，学生已经熟悉了所选领域的所有严格基础，现在准备重新审视和完善自己对该主题的严格直觉，但这次直觉得到了严格理论的坚实支持。（例如，在这个阶段，学生能够通过使用与标量微积分的类比，或非正式和半严格地使用无穷小量、大 O 符号等，快速准确地执行矢量微积分计算，并能够在需要时将所有此类计算转换为严格论证。）现在的重点是应用、直觉和“大局”。这个阶段通常发生在研究生后期及以后。

很遗憾总体而言这三个阶段我们做的都不够好，第一个和第三个阶段尤为糟糕，这也造就了很多学生的数学似是而非的现状，看起来有，但当你真正去谈论一些东西的时候，你会发现他真的没有，这其中也会包括一些老师。



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