平面几何神兽---密克的猫（1）

luyuanhong

平面几何神兽---密克的猫（1）

原创 lch 福星笑谈人生几何 2024 年 09 月 19 日 11:23 上海

茄总又和大家见面了！！！

我们前面认识了两只神兽---卡诺的鸭，曼海姆的鸡。今天，我们就来认识下一只神兽---密克的猫！！！

密克的猫深受平几人的热爱，在平面几何中可以说是“掌上明珠”般的存在。

猫是世界上最可爱的动物之一，拥有圆圆的眼睛，圆圆的脑袋，当然还有圆圆的小爪爪！！！



如上图，这只猫是我们学院的一只神兽，也是我们学院和学校最可爱的神兽，没有之一！（这是公理，不需要证明，不接受反驳）

由于猫在动物界和宠物界具有不可撼动的地位，常常被世人定为不同学科中的神兽。如物理学神兽中就有薛定谔的猫，今天我们在数学中看另一只神兽---密克的猫！！！



先看定理的基本内容：



在一个三角形的三边所在直线上各取一点，每个顶点和其邻边上的两个点所确定的圆共点。

这个定理的证明十分简单，十分浅显，但这个定理十分重要，也十分优美！！！



当然，还有另一种浅显的证法：



一般多圆共点的定理被称为密克定理，所以说猫爪定理是密克定理的特殊情况，也是一种最为简单的情况。与鸭爪定理，鸡爪定理的命名角度相同，由于 PD,PE,PF 所点缀的图像很像猫爪，所以我们一般称这样的情形下的定理为猫爪定理。而图中的 P 也被称为密克点，有时也记作 Mi 。



当然，所取的点不一定在三角形的边上，也有可能在延长线上：



其他情况很多，但证明过程是一样的。接下来，我们来了解一些猫爪定理所带来的副产品，即定理所能得出的其他结论：

首先，根据我们的证明过程，∠AEP=∠BFP=∠CDP ，∠AFP=∠BDP=∠CEP ，我们能得出第一个结论：密克点与所取三点与对应边所成的角相等。



之后，我们考虑特殊情况：当 D,E,F 共线时，P 位于 ΔABC 的外接圆上，即此时是四圆共点。而这恰好也是完全四边形的性质。



这里，我们称 P 为 D,E,F 对 ΔABC 的密克点，ΔDEF 为 P 所对应的密克三角形。我们之前一直是先有密克三角形，再有密克点。而且一个密克三角形只能对应一个密克点。但是，一个密克点可以对应多个密克三角形。



我们已经通过一个密克三角形确定了一个密克点，现在我们来寻找这个密克点所对应的其他密克三角形：



先在三角形的一条边上另取一点，则这一点可看作 P 与原来的点形成的直线绕 P 旋转一角度后与这一条边的交点。我们将 P 与另外两点形成的线段绕 P 同方向旋转相同角度后，分别取旋转得到的直线和另外两边的交点。由于密克点与所取三点与对应边所成的角相等，P 和每条边上取得的两点形成的三角形均相似。我们将原来的点记为 D,E,F ，新形成的点记为 D',E',F'，则



这样一来，我们就能通过角的转化直接得出 A,E',P,F' 共圆，B,D',P,F' 共圆，C,D',P,E' 共圆。所以说 ΔD'E'F' 也是 P 的密克三角形，而且和 ΔDEF 相似。

我们可以得出另一个结论：一个密克点对应的所有密克三角形均相似。这个证明过程是将我们构造的过程倒过来写：



这一期我们先了解了猫爪定理的基本内容，下一期我们来欣赏一下密克的猫在几场戏中的客串！



福星笑谈人生几何