对偶函数的幂函数定理

小草

对偶函数的幂函数定理

              文/施承忠

存在一个对偶函数u1(u^n)和u2(u^n)使得u^n=u1(u^n)+u2(u^n)并且
u^n=u1^n+u2^n，其中u1^n=u1(u^n)，u2^n=u2(u^n).则n→∞,u1→u-Δ,或
n→∞,u2→u1→u-Δ，Δ为一无限小量.

证：
因为u^n=u1^n+u2^n.当n=k时.
u^k=(u1)k^k+(u2)k^k.
当n=k+1时.
u^k+1=u^k*u=((u1)k^k)*u+((u2)k^k)*u.
而,
(u1)k^k+1=((u1)k^k)*(u1)k,
(u2)k^k+1=((u2)k^k)*(u2)k.
因为u>(u1)k>(u2)k.
所以:
u^k+1>((u1)k^k+1)+((u2)k^k+1).
u^k+1=((u1)k)+Δ1)^k+1)+((u2)k)+Δ2)^k+1).
k→∞=n→∞就得定理.
证毕.