最重要的 7 个数学常数

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最重要的 7 个数学常数

原创 金朝老师来上课 数据分析学习与实践 2024 年 10 月 29 日 19:27 北京



π 的美丽、φ 的神奇、γ 的神秘和 e 的力量

你最喜欢的数字是什么？在本文的最后，我将揭晓我喜欢的数字，但首先，我将向大家介绍我对世界上最重要的数学常数的看法。

我们将通过逐一介绍这些常数，了解它们为何如此特别，为何具有如此重要的历史意义。我们还将讨论这些数字的一些应用。

不过，在开始之前，我们需要就数学常数的确切含义达成一致。

我对数学常数的定义就是一个不带单位的数字。一个数字。我们可以称这些为无量纲数，只是一个标识某个特定的物理量吗？而它们并非如此。

这个定义自然排除了普朗克常数和光速等著名常数！

我也没有把 0 和 1 包括在内，尽管它们肯定是数学常数，而且肯定是一些最重要的常数。但是，我们对它们的了解和理解是如此之深，所以我把它们排除在外了。

这个列表中的数字并不是唯一重要的数字。远非如此。如果您有自己喜欢的数字，请随时在评论中提出--我们一起来讨论它们！它们也没有按照任何特定的方式排序。

话不多说，让我们从数学界的超级明星开始……

圆常数：π

π 被称为圆常数，因为它是任何圆的周长与直径之比，约为 3.14159 。它广泛应用于几何、三角学和微积分中，也出现在许多其他数学学科中，如概率论、统计学和数论。

千百年来，π 一直吸引着数学家、科学家和哲学家的思想和心灵，它的历史始于公元前 1900-1600 年间的古巴比伦。

巴比伦人最初将 π 近似为 3.125 ，这在当时是一个合理的估计。后来，古埃及人在公元前 1650 年左右计算出了自己的圆周率近似值。他们利用几何学知识，得出了 3.16 的数值。

这个数字的魅力和实用性一直延续到希腊。

在古希腊，伟大的数学家阿基米德在公元前 250 年左右接受了这一挑战。阿基米德利用内切圆和外切圆的多边形，巧妙地将  挤压在两个边界之间，计算出 3.1408 ＜ π ＜ 3.1429 。人们对 π 的理解有了巨大的飞跃，阿基米德的方法为未来的数学家奠定了基础。事实上，这种多边形算法主导了 1000 多年，因此，π 有时被称为 “阿基米德常数”。

随着时间的推移，人们对  的追求仍在继续。公元 5 世纪，中国数学家祖冲之改进了阿基米德的方法，将  计算到了令人印象深刻的小数点后 7 位，即 3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927。这一成就在近千年的数学汗水和泪水中始终无人能及。

在欧洲文艺复兴时期，十进制的发明和微积分的发现为常数的计算带来了突破。17 世纪，艾萨克-牛顿利用他新开发的微积分领域，将 π 计算到小数点后 15 位！

20 世纪，数学家们拥有了强大的机器来帮助他们寻找这个难以捉摸的数字。1949 年，约翰-扳手和列维-史密斯用一个简单的计算器将 π 计算到小数点后 1120 位。后来，现代计算机的发明使数学家们能够将 π 计算到小数点后数百万位甚至数十亿位。

我们知道，π 不仅是无理数，还是一种被称为超越数的东西，这使它变得更加特殊。

如今，人们仍在继续寻找 π 的更多数位，因为它永无止境、不重复的十进制扩展仍然吸引着数学家和爱好者。

第一个无理数 √2

这个被定义为方程 x^2=2 的唯一正实数解的数之所以重要，是因为它是第一个被证明为无理数的数。√2 约等于 1.41421 。

这个故事要从公元前 6 世纪左右的古希腊数学家毕达哥拉斯及其追随者毕达哥拉斯派说起。他们认为，宇宙可以通过整数及其比率来解释，这种思想主导了他们对数学、音乐和天文学的理解。

后来，毕达哥拉斯派数学家之一、梅塔彭图姆的希帕斯有了一个惊人的发现。在研究平方数的性质时，他发现边长为 1 的正方形的对角线不能用整数的比来表示。

这意味着对角线的长度 √2 不是有理数。这一发现威胁到毕达哥拉斯世界观的根基，在数学界引起轩然大波。根据一些资料，希帕索斯因其发现而被淹死。

希帕索斯的发现标志着数学史上的一个转折点。人们认识到有些数不能用整数的简单比率来表示，这为人们打开了一扇通往新世界的大门。在随后的几个世纪里，数学家们继续探索 √2 以及其他无理数的性质。

此后，√2 成为几何、数论和代数等多个数学分支的重要组成部分。

微积分之星：e

e  是自然对数的底数，约为 2.71828 。它在微积分中非常重要，在数学的许多领域都有应用，包括数论和复分析。

有时我们称它为欧拉数，以纪念这位伟大的数学家，是他向我们展示了 e 的重要性。

关于 e 的故事，实际上是从复利这样令人兴奋的事情开始的。只是到了后来，奇妙的发现和深刻的洞察力塑造了我们对微积分、数论和其他大量数学学科的理解。

遗憾的是，我们只能在这里简单概述一下这个神奇的故事。

17 世纪初，著名数学家雅各布-伯努利正在研究复利的本质。他问自己

“如果你以 100% 的年利率投资，复利次数越多，结果会怎样？”

他发现，随着复利期数的增加，资金总额会接近一个极限。这是一个有趣的数字，大约为 2.718 ，这也是人们第一次看到常数 e 。

随着时间的推移，e 的神秘特性开始在其他数学分支中显现出来。18 世纪初，伟大的数学家莱昂哈德-欧拉（Leonhard Euler）进一步探索了这个常数。



这几乎就是艺术。光是欧拉给出的特性就能让 e 成为超级明星，但你还能从分析中得到所有重要的结果，从而巩固它作为世界上最重要数字之一的地位。

黄金分割率：φ



阿佩里常数：ζ(3)



欧拉常数：γ



虚数单位：i

这个奇妙的数字被定义为 -1 的平方根，它的故事是一个关于创新和大胆探索数学思想的故事，而这些思想曾被认为是被禁止的。

我们的故事开始于 16 世纪欧洲文艺复兴时期，当时数学家们正试图找到多项式方程的解。一些方程引出了神秘的负数平方根，这一概念令数学家们大惑不解，最初被认为是不可能或毫无意义的。实际上在非法的边界上。

16 世纪初，一些意大利数学家之间的竞争导致他们不择手段地 “赢得 ”数学决斗，包括使用这些 “虚数 ”作弊。

是的，他们实际上是以数学为武器进行决斗。

后来，这些数字被更认真地对待，因为它们得到了几何解释，甚至有了更多的应用。

特别是莱昂哈德-欧拉（Leonhard Euler）和法国数学家亚伯拉罕-德-莫伊弗尔（Abraham de Moivre）在 18 世纪进一步发展了虚数单位和复数的概念。回顾一下，复数只是一个形式为 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数。



在接下来的几个世纪中，i 不断揭示其秘密，被证明是复数分析、数论和微分方程等数学分支中不可或缺的。

在量子力学中，i 在理解支配宇宙中微小事物的方程方面发挥着重要作用。

要我说，复数非常有趣的一点是，我们需要复数来理解许多实际问题。有些实际问题，没有复数我们根本无法解决。我们甚至需要复数才能通过复变函数理论来理解我们的素数。这就好像我们得到了比我们想要的更多的东西。

那么，我最喜欢的数学常数是什么呢？

我最喜欢的数学常数是 γ 。我喜欢它出现在如此多的地方，尽管如此，我们对它的了解却少之又少，尽管它已经存在了几百年。证明 γ 的无理性将是一项不朽的分析成就。

本文到此结束。希望大家喜欢。你最喜欢哪个数字？

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