【科普】数学家 100 多年后证明爱因斯坦广义相对论中的结论

luyuanhong

【科普】数学家 100 多年后证明爱因斯坦广义相对论中的结论

原创 Steve Nadis 梧桐阅览 2024 年 09 月 25 日 08:00 湖北

数学家们证明了一个定理，它揭示了具有极小质量宇宙的几何结构。这是 2023 年的一篇论文证明了极小质量宇宙的平坦性。与百年之前广义相对论的预测遥相呼应。



阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论在描述引力如何运作以及它如何塑造宇宙的大尺度结构方面取得了巨大的成功。物理学家约翰·惠勒用一句话总结了它：“时空告诉物质如何移动；物质告诉时空如何弯曲。”然而，广义相对论的数学也是非常反直觉的。

由于其基本方程非常复杂，即使是听起来最简单的陈述也难以证明。例如，直到 1980 年左右，数学家们才证明了广义相对论中的一个重要定理，即一个孤立的物理系统或“时空”，如果没有质量，必须是平坦的。

这留下了一个问题没有解决：如果一个空间几乎是真空，只有极小的质量，它会是什么样子？它是否必然几乎是平坦的？

虽然看起来更小的质量会导致更小的曲率，但在广义相对论中事情并不那么简单。根据理论，物质的密集集中度（密度）可以“扭曲”空间的一部分，使其高度弯曲。在某些情况下，这种曲率可能是极端的，可能导致黑洞的形成。即使在只有少量物质的空间中，如果物质足够集中，这种情况也可能发生。

在最近的一篇论文中，石溪大学的研究生 Conghan Dong 和加州理工学院的助理教授 Antoine Song 证明了，一系列曲率越来越小、质量越来越少的弯曲空间最终会收敛到一个零曲率的平坦空间。

这一结果是广义相对论数学探索的一个值得注意的进展——在爱因斯坦提出他的理论一个多世纪后仍在继续结出硕果。皇后学院研究广义相对论数学的数学家Dan Lee（未参与这项研究）表示，Dong 和 Song 的证明反映了对曲率和质量如何相互作用的深刻理解。

他们证明了什么

Dong 和 Song 的证明涉及三维空间，但首先考虑一个二维例子以便于说明。想象一个没有质量的平坦空间就像一张普通的、光滑的纸张。在这种情况下，一个有小质量的空间可能从远处看类似——也就是说，大部分是平坦的。然而，更仔细的检查可能会发现这里和那里有一些尖锐的突起或气泡——物质聚集的结果。这些随机的突起会使纸张看起来像是一个偶尔有蘑菇或茎从表面突出的精心维护的草坪。


Antoine Song（如图）和 Conghan Dong 证明了含有极小质量的空间必须是近乎平坦的。

Dong 和 Song 证明了数学家 Gerhard Huisken 和 Tom Ilmanen 在 2001 年提出的一个猜想。这个猜想表明，当一个空间的质量接近零时，其曲率也必须接近零。然而，Huisken 和 Ilmanen 认识到，由于气泡和尖刺（在数学上是不同的）的存在，这种情况变得复杂。他们假设气泡和尖刺可以被切除，使得每次切除在空间表面上留下的边界面积都很小。他们提出，但未能证明，这些麻烦的附加物被移除后剩余的空间将接近平坦。他们也不确定应该如何进行这样的切割。

“这些问题很难，我没有预料到会看到 Huisken-Ilmanen 猜想的解决方案。”Lee 说。

这个猜想的核心是对曲率的测量。空间可以以不同的方式、不同的量和不同的方向弯曲——就像马鞍（在二维中）向前和向后弯曲，也可以向左和向右弯曲。Dong 和 Song 忽略了这些细节。他们使用了一个叫做标量曲率的概念，它用一个数字来表示曲率，概括了所有方向上的完整曲率。

康奈尔大学的 Daniel Stern 说，Dong 和 Song 的新工作是“我们目前拥有的最强结果之一，它向我们展示了标量曲率如何控制整个空间的几何结构”。他们的论文说明了“如果我们有非负的标量曲率和少量质量，我们就能很好地理解空间的结构。”

证明的思想

Huisken-Ilmanen 猜想涉及质量稳步减少的空间的几何结构。它规定了一种特定的方法，用以说明具有小质量的空间与平坦空间有多接近。那个度量被称为 Gromov-Hausdorff 距离，以数学家 Mikhael Gromov 和 Felix Hausdorff 命名。计算 Gromov-Hausdorff 距离是一个两步过程。


第一步是找到 Hausdorff 距离。假设你有 A 和 B 两个圆。从一个圆上的任意一点开始，计算它到另一个圆上最近点的距离。


对于 A 上的每个点都重复这个步骤。你找到的最大距离就是两个圆之间的 Gromov-Hausdorff 距离。

一旦你有了很多 Hausdorff 距离，你就可以计算 Gromov-Hausdorff 距离。接下来，最小化这个距离。

要做到这一点，将你的物体放置在一个更大的空间中，以使它们之间的 Gromov-Hausdorff 距离最小化。对于两个完全相同的圆，由于你可以将它们直接重叠放置，它们之间的 Gromov-Hausdorff 距离为零。几何上相同的物体被称为“等距的”。

当然，当被比较的物体或空间相似但不相同时，测量距离就更加困难了。Gromov-Hausdorff 距离提供了一种精确的度量方法，用于衡量最初位于不同空间的两个物体形状之间的相似性（或差异）。“Gromov-Hausdorff 距离是我们说两个空间几乎等距的最好方式之一，它为‘近似的数值’下了一个明确的定义。” Stern 说。

在 Dong 和 Song 能够将一个质量很小的空间与一个完全平坦的空间进行比较之前，他们必须剪掉那些烦人的突起——物质紧密堆积的狭窄尖刺，甚至可能隐藏着微小黑洞的更密集的气泡。“我们剪掉它们，使得边界面积（切割的地方）很小。” Song 说，“我们展示了随着质量的下降，面积变得更小。”

尽管这种策略听起来可能像是一种作弊，但 Stern 说，在证明猜想时，允许进行一种预处理，即剪掉随着质量减少而面积缩小到零的气泡和尖刺。

作为具有小质量空间的替代，他建议，我们可以想象一张皱巴巴的纸，经过再次平整后，仍然有尖锐的折痕和褶皱。你可以使用打孔机来移除最突出的不规则部分，留下一张有些孔洞的略微不平整的纸。随着这些孔洞的大小缩小，纸张的地形不平整度也会减小。在极限情况下，你可能会说，孔洞会缩小到零，隆起和山脊会消失，你会得到一张均匀平滑的纸——一个真正的平坦空间的替代品。

这就是 Dong 和 Song 试图证明的。下一步是看看这些被剥夺了粗糙特征的空间——与完全平坦的标准相比如何。他们采用的策略利用了一种特殊的映射，这是一种通过将一个空间中的点与另一个空间中的点关联起来比较两个空间的方法。他们使用的映射是由 Stern 和他的三位同事—— Hubert Bray 、Demetre Kazaras 和 Marcus Khuri 在一篇论文中开发的。这个过程可以确切地说明两个空间有多接近。

为了简化他们的任务，Dong 和 Song 采用了 Stern 和他的合著者们的另一种数学技巧，该技巧表明一个三维空间可以被划分成无限多的二维切片，称为水平集，就像一个煮熟的鸡蛋可以通过鸡蛋切片器的紧绷的线被分割成狭窄的薄片一样。

水平集继承了它们所包含的三维空间的曲率。通过专注于水平集而不是更大的三维空间，Dong 和 Song 能够将问题的维度从三维降低到二维。Song 说，这非常有益，因为“我们对二维物体了解很多……我们有很多工具来研究它们。”

如果他们能够成功地证明每个水平集是“有点平坦的”，Song 说，这将使他们能够实现他们的总体目标，即证明一个具有很少质量的三维空间接近平坦。幸运的是，这种策略成功了。

下一步是什么

展望未来，Song 说该领域的下一个挑战是使证明更加明确，通过制定一个精确的程序来摆脱气泡和尖刺，并更好地描述已经被切除的区域。但就目前而言，他承认：“我们没有明确的策略来实现这一点。”

Song 说，另一个有希望的途径是探索 Lee 和纽约城市大学的数学家 Christina Sormani 在 2011 年提出的另一个猜想。Lee-Sormani 猜想提出了与 Huisken 和 Ilmanen 提出的问题类似的问题，但它依赖于一种不同的测量形状之间差异的方法。与 Gromov-Hausdorff 距离考虑两个形状之间的最大距离不同，Lee-Sormani 方法询问它们之间的空间体积。

那个体积越小，它们就越接近。与此同时，Song 希望研究一些基本的标量曲率问题，这些问题不是由物理学激发的。他说：“在广义相对论中，我们处理的是非常特殊的空间，在无穷远处几乎是平坦的，但在几何学中，我们关心各种空间。”

Stern 说：“有希望这些技术在与广义相对论无关的其他环境中也有价值。”他说，有一个大家族的相关问题等待被探索。

中文翻译编辑校对：酉木木

梧桐阅览