原创征解题《圆中的斜率定值问题》的代数与几何证明

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原创征解题《圆中的斜率定值问题》的代数与几何证明

原创 李阳 数海寻珍 2024 年 09 月 28 日 19:55 江西

【题目】

如图，在平面直角坐标系 xOy 中，M 是圆 C ：(x-2)^2+(y-1)^2=5 上的动点，以 M 为圆心半径为 1 的圆 M 与圆 C 交于 A ,B 两点．设直线 OA ,OB 与圆 M 的另一个交点分别为 P , Q ，求证直线 PQ 的斜率为定值。



【代数证明】

要证明直线 PQ 斜率为定值，只需联立直线和圆解出点 A ,B 的坐标，再通过点在圆上这个几何特征进行代换。




【几何证明】

要证明直线 PQ 的斜率为定值，只需证明 PQ 的倾斜角为定值，因为圆 C 是定圆，所以它被坐标轴截得线段所对的圆心角为定值，所以考虑通过倒角的方式找到所求倾斜角和圆心角之间的关系。




从上面的几何证明过程不难发现，直线 PQ 的斜率与圆 M 的半径无关。

欢迎读者提供不同的解法。

数海寻珍