五个重大数学猜想

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五个重大数学猜想

原创 数学往事 数学往事 2024 年 09 月 28 日 07:04 江西

费马大定理

费马大定理由法国数学家 Pierre de Fermat 于 1637 年提出。费马在他的书籍《算术》中提到，虽然他发现了这个命题的证明，但没有空间来写下。费马大定理声称，没有三个正整数 a 、b 、c 能够满足方程 a^n+b^n=c^n  对于任意整数 n＞2 。这个定理的提出引起了数学界的广泛关注，并成为数论中的经典问题。

自费马提出这一猜想以来，数学家们对其进行了数百年的探索。最早的成果是在特定情况下证明该猜想，例如 n=3 和 n=4 。19 世纪和 20 世纪的多位数学家，特别是高斯和黎曼等，试图证明这一猜想，但都未能成功。直到 1994 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在多年的隐秘研究后，终于找到了证明。怀尔斯的证明采用了现代数论的多种工具，包括椭圆曲线和模形式的理论。他的研究成果被认为是数论的一次重大突破。

费马大定理的挑战在于其复杂的数学背景，特别是当 n 的值增大时，问题的难度迅速加大。许多数学家曾尝试构建直接的证明，但通常因为缺乏合适的工具和理论而陷入困境。怀尔斯的证明涉及了多个数学分支的深刻联系，尤其是将数论与几何结合，这在之前的研究中尚未得到充分重视。

费马大定理代表人物

● 皮埃尔·德·费马：提出费马大定理的数学家。

● 安德鲁·怀尔斯：成功证明费马大定理的数学家，其工作开创了现代数论的新方向。

● 约翰·泰特：与怀尔斯合作，帮助解决了证明过程中的关键问题。

黎曼假设

黎曼假设由德国数学家伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）于 1859 年提出，涉及的是黎曼 ζ 函数，定义为  ，其中 s 为复数。当 s=1 时，该级数发散。黎曼假设声称，所有非平凡零点都位于复平面上实部为 1/2 的直线上。

尽管黎曼假设吸引了众多数学家的关注，但至今仍未得到证明。许多数学家对其进行了大量的数值验证，尤其是针对前万亿个零点的计算结果均表明这些零点确实位于实部为 1/2 的直线上。此外，相关领域的研究也取得了进展，例如对素数分布的理解，但这些成果并未直接解决黎曼假设。

黎曼假设的复杂性体现在它与数论中多个重要概念的深刻联系上，包括素数分布、代数数论等。尝试证明这一假设的数学家往往会发现自己陷入更深层次的数学结构中，而这些结构往往在当时尚未完全被理解或掌握。

黎曼假设代表人物

● 伯恩哈德·黎曼：提出黎曼假设的数学家。

● 哈代：对黎曼假设及其相关理论进行了深入研究。

庞加莱猜想

庞加莱猜想由法国数学家亨利·庞加莱（ules Henri Poincaré）在 1904 年提出，关于三维流形的性质。它声称，任何闭合的三维流形如果是单连通的（即没有洞），则它同胚于三维球面。这一猜想对拓扑学和几何学有着重要影响。

庞加莱猜想在 20 世纪吸引了大量数学家的关注，但直到 21 世纪初，依然没有找到证明。2003 年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼利用里奇流的方法成功证明了这一猜想。佩雷尔曼的证明经过了几年的审核和验证，最终在 2006 年被广泛接受，标志着这一历史性问题的解决。

庞加莱猜想的主要挑战在于三维流形的复杂性。研究三维流形涉及深奥的几何和拓扑知识，之前的数学家们在这一领域的许多努力都未能取得突破。佩雷尔曼的证明通过结合不同领域的思想，尤其是几何分析和拓扑，展示了一个全新的视角。

庞加莱猜想代表人物

● 亨利·庞加莱：提出庞加莱猜想的数学家。

● 格里戈里·佩雷尔曼：成功证明庞加莱猜想的数学家，采用了里奇流等现代工具。

● 里查德·哈密尔顿：为佩雷尔曼的证明奠定了理论基础，通过里奇流的方法研究三维流形。

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想由德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach）在 1742 年提出，声称任何大于 的偶数可以表示为两个质数之和。这一猜想是数论中的一个经典问题，至今未能得到证明。

虽然哥德巴赫猜想至今未被完全证明，但数学家们对其进行了大量的研究和验证。特别是 20 世纪，随着计算能力的提高，许多数学家对大量偶数进行了验证，表明其可以被表示为两个质数之和。值得一提的是，1973 年，数学家陈景润证明了“大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”。这被认为是迄今为止该研究领域最佳的成果，距离解决哥德巴赫猜想仅一步之遥。

哥德巴赫猜想的挑战在于素数的性质和分布。尽管对许多特定偶数进行了验证，但要证明这一猜想对所有偶数成立，仍需解决素数分布的基本性质。

哥德巴赫猜想代表人物

● 克里斯蒂安·哥德巴赫：提出哥德巴赫猜想的数学家。

● 哈代：对哥德巴赫猜想的相关研究有重要贡献。

● 华罗庚：对哥德巴赫猜想的相关研究有重要贡献。

● 陈景润：提出了与哥德巴赫猜想相关的部分结果，极大地推动了该领域的研究。

四色定理

四色定理最早由弗朗西斯·古德里（Francis Guthrie）在 1852 年提出，关于平面地图的着色问题。该定理声称，任何平面地图的区域最多只需四种颜色，就能使得相邻的区域颜色不同。

四色定理在 1976 年由肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯通过计算机辅助证明，成为第一个依赖于计算机的数学定理。这一证明引发了对数学证明的本质的讨论，尽管其结果得到了接受，但计算机证明的可靠性和标准化问题依然存在。

四色定理的证明挑战在于需要处理大量的案例和计算，尤其是计算机在证明中的应用，促使数学家们重新思考数学证明的性质。

代表人物

● 弗朗西斯·吉尔曼：最早提出四色定理的数学家。

● 肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯：利用计算机成功证明四色定理的数学家。

这些猜想不仅在数学领域引发了广泛的研究与讨论，也对许多相关学科产生了深远影响。在未来，相信这些问题的进一步研究将继续推动数学的发展，揭示更深刻的数学真理。

数学往事

被遗弃的草根

我没有证明庞加莱猜想；
我还不能证明黎曼猜想；
我证明费尔马大定理、四色定理、和哥德巴赫猜想也没有得到数学界的公认。