第一次数学危机——实数的诞生【一】

luyuanhong

第一次数学危机——实数的诞生【一】

原创 cosmopolite nature 漫游指南 2024 年 09 月 29 日 20:00 上海



什么是数？

给我一个单位一，把他两两相加，接着不断重复，总能得到很大的结果——整数。整数，是与客观世界的数量对应的。

但是，如果我们使用尺子度量物体长度时，整数的概念总是不够用的。整数的加和乘运算，以及其逆运算，就能得到更多我们想要的数——根据我们所做的有理运算，我们为他们起名叫有理数。

这是大家在生活中都能接触和亲身体验的数的存在。关于有理数的性质，历史上有个智者学派的代表叫芝诺，提出过一个非常有名的悖论，可以引发我们对于有理数的性质的思考。阿喀琉斯与乌龟的故事：



有理数是怎样存在的呢？从上面悖论中，我们不难发现，如果每一回阿基里斯与乌龟之间的距离占原来距离的比值对应一个有理数的话，只要阿基里斯追不上乌龟，不难发现，在以后的历程中，总能找到下一次阿基里斯追不上乌龟时，二者之间的距离，也就是另一个有理数。“半尺之锤，日取其半，永日不竭”，说的就是这个道理。这种无穷，不仅体现在密度上：有理数是处处稠密的，而且体现在广度上：任意一端微不足道的长度都可以找到一种方法使其上面的点与整个有理数一一对应。因为总能有相应的微不足道的缩小倍数，使得这段长度对应到更长的领域。

以上，我们简单的略过了第一次数学危机发生前古希腊人已经具备的前铺知识，尤其是毕达哥拉斯学派，他们怀揣着万物皆数的坚定信念，坚信“数即万物”，并认为宇宙间各种不同的关系都可以用整数或整数之比来表达。然而，意外发生在几何学的研究中。属于毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现边长为1的正方形的对角线长度不能用整数或分数来表达（使用常见的反证法和奇偶分析）：





简单的证明方法，却引出了一连串的问题：这些数是实际存在的吗，既然这样，他在有理数处处稠密的数轴上，又是怎样存在的呢？无理数的数量是怎样的呢？是否可以找到一种生成无理数的固定程序，以明确无理数的数量级？无理数的数量能否与有理数相匹敌呢？

然而，这种学派教义的基础所不容许的发现，可实实在在触犯了学派的信念，这条发现被勒令严格保密，而这个有关怪数的纸面上的争论，随着希波索思被扔进大海而湮没入了尘烟。



人类下一次对于这片未知的探索，一直要到千年之后，从一个科学伟人的划时代巨著谈起了。

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