悬链线方程及其模型

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悬链线方程及其模型

原创 赵奎奇 教授 百名博士谈科学 2024 年 10 月 06 日 00:00 广东

作者：赵奎奇，云南师范大学数学系教授。2018 年退休，长期从事《微积分》、《常微分方程》、《现代数学与中学数学》和《数学方法论选讲》的教与学研究，也涉及西南联大数学史方面研究。

悬链线（Catenary）[1-4] 见下图 2，一条完全柔软的质量均匀细线条，固定悬挂在 A,B 两点，在重力作用下呈平衡状态，其静止状的曲线称为悬链线，这是一个著名的古老年代的数学物理难题。

列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）是首先提出悬链线形状问题者，他在绘画《抱银貂的女人》（1490 年）时，思索女人脖子上的黑色项链的形状提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂至静止时，项链会形成怎样的曲线？



1690 年，荷兰物理学家、数学家、天文学家、发明家克里斯蒂安·惠更斯（Christian Huygens）发给德国著名博学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）的一封信中，首次使用这个名称。第一个研究悬链线的人是意大利伟大的天文学家、物理学家和工程师伽利略，但他错误地将其形状认定为抛物线。

1690 年 5 月号的《教师学报》上，雅各布公开向各国数学家挑战：求一根柔软但不能伸长的绳子自由悬挂于两定点所成的曲线。




1691 年 6 月号的《教师学报》上同时发表了莱布尼茨、惠更斯和约翰的解答，但都没有公开方法。从他们的通信及历史文献来看，惠更斯用的是阿基米德的古典几何方法，莱布尼茨和约翰用的是的微分法。由于微分法更直接，所以这次竞赛可以说标志着新的微分法战胜了古典方法。

约翰·伯努利为解决这个问题彻夜未眠，他的微积分方法最简单，并为自己能超过兄长而感到非常自豪！他在哥哥雅各布·伯努利逝后 13 年的 1718 年 9 月 29 日，给毛特莫特（Pieere Rémond de Montmort，1678-1719）的信中夸耀了自己，他说：“ ……我为什么要隐瞒真情呢？我荣幸地找到了彻底解决问题的技巧，将它转化为抛物线的求长法，我为此牺牲了通宵的时间。第二天早晨我满怀喜悦到我哥哥那里，他还在为解开这个 Gordian 绳结苦苦奋斗呢。像伽利略一样，他总想象这是一根抛物线。我对他说那是完全错误的，抛物线对悬链线的构造的确有用，但一个是代数的，另一个是超越的……”

虽然伯努利家族里他兄弟两之间不止一次相互争强好胜，不断争吵！弟弟势在超越哥哥，哥哥是一直不能接受事实：比他年轻得多的弟弟跟他旗鼓相当，在某程度上,甚至还超过了他……。但是，他兄弟两都属于数学史上，也属于他们那个时代的伟大数学家。哥弟俩在悬链线问题和最速降线问题的持续争吵，不仅丰富了微积分的内容，而且显著地促使微分方程别于微积分朝着专门化方向发展，还导致了变分法的诞生。对雅各布，1690 年代，莱布尼兹经常这样评价:“（莱布尼兹的）微积分的思路还只有少数人懂得，我还没听说比这个著名的人（雅各布）更懂我意思的人。”雅各布也是世界上最早使用“积分”这个术语的人，研究过悬链线和确定了等时曲线方程，概率论中的伯努利实验与大数定理也都是由他提出来的。约在 1687 年，约翰开始私下里跟哥哥雅各布学习数学，约过了两年时间，他的水平就和哥哥差不多了。他们俩是首先认识到微积分的重要性，向世界宣传阐述其意义的数学家，也是那时代最善长应用微积分解决数学物理问题的数学家。兄弟俩的时代，至少有六位最主要数学家是他们之一的学生。尤其，约翰·伯努利授业学生，包括有纪尧姆·弗朗西斯·罗必塔（Guilam Francois L'Hospital）、莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）、J·C·法蒂奥·德·丟勒（J.C.Fatio de Duillier），还有他的两个数学家儿子，尼古拉（Nicholas） 和丹尼尔（Daniel，伯努利家族中涉及科学领域较多的人）等，深受他影响的第三个儿子约翰二世不仅是数学教授且为自己培育出两个活跃在自然科学和数学界的儿子约翰三世和雅各布二世。

下面给出悬链线的微分方程及其求解：








“等强度悬链线的设计原理”是确保结构在不同位置受力一致。是物理实体，如高压线架设、凹型拉索大桥（或拱门（凸）型建筑）设计的重要依据之一，如上得到的悬链线函数（模型），也常被用来估算其两高支架间缆绳最低（高）点处的张力，这里不展开了，有兴趣者可参考文[1]。在（4）第二个等号右边使用的函数，是《微积分学》开篇——函数，必须介绍的双曲函数之双曲余弦。双曲函数，历史上是由德国数学家，约翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert，1728 年 8 月 26 日 － 1777 年 9 月 25 日）命名引入的函数。他也是继莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利后，对悬链线函数以微积分方法有深入研究的数学家。他还是历史上第一个证明 π 是无理数，第一位给出三角正弦函数作图方法、首位将双曲函数引入三角学研究的数学家。



在光学和电磁学中，双曲余弦和正弦函数是麦克斯韦方程的基本解，由 2 个衰减波组合成的对称模式也有悬链线形状情况。


抽象的大模型 3D 音频波形多含有悬链线特征


自然界的蜘蛛网上随风雨的飘动能自适应的蛛丝形状，呈多个具有弹性的悬链线样

300 多年来，悬链线函数（模型）和双曲函数的研究，在数学、物理和工程等多宏观和微观现实中，实为经久不衰的课题内容！




复平面上定义的正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦的 3 维图

参考文献：

[1] 东北师范大学微分方程教研室，《常微分方程》[M],北京:高等教育出版社,1988 年:77-78

[2] 悬链线方程—数学史上的难题之一，伽利略没能求出，难在哪里？ https://www.sohu.com/a/470829176_348129

[3] 任瑞芳（2008）,常微分方程理论的形成（博士论文,西北大学）:46-49

[4] [美]哈尔·赫尔曼 著, 数学恩仇录[M], 复旦大学出版社,2009 年:87-88

[5] 神奇的悬链线, https://mp.weixin.qq.com/s?__biz ... 48e5f4&scene=27

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