斐波那契数列的兄弟

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斐波那契数列的兄弟

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 10 月 06 日 20:43 陕西

斐波那契数列是一个数字序列，其中每个数字都是序列中前两个数字的总和。从 0 和 1 开始，依次为 0、1、1、2、3、5、8、13、21 等等。我们可以利用递归来定义这个序列，假设 fn 是第 n 个斐波那契数，则



有意思的是，尽管该序列被定义为递归，但我们可以仍然将其转换为封闭形式，即插入一个数字 n 并返回序列的第 n 项。我们稍后会介绍这一点。数学上有一些和斐波那契数列相近结构的数列，但可能不是那么有名，比如下面的

Tribonacci 数列

这个数列与斐波那契数列类似，有人也把它叫做三斐波那契数列或者三阶斐波那契数列，在这个数列中，每个数字都是该数列中前三个数字之和。

其值为 0、0、1、1、2、4、7、13、24 等等。该值也是递归定义的。



这个三阶斐波那契数列比普通的斐波那契数列增长速度更快。

增长率

众所周知，斐波那契数列呈指数增长，该指数即为黄金比率。进一步研究该数列，连续项之间的比率收敛到黄金比率 φ ，当然 φ 也是方程 x^2= x + 1 的正解。它看起来有点像斐波那契的递归定义，对吧？斐波那契数列有一个几何解释——斐波那契螺旋，它符合著名的黄金矩形。



黄金矩形的长边与短边的比值当然是 φ 。我不知道 Tribonacci 数列的几何解释，但它确实有自己的“黄金比例”。它呈指数增长，连续项之间的比率收敛到约 1.839 。

这个精确的比率是方程 x^3 = x^2 + x + 1 的实数解。就像我们在黄金比率中观察到的那样，这个方程看起来有点像 Tribonacci 数列的递归定义。这并非巧合。像斐波那契和 Tribonacci 数列这样的递归关系，通过将关系转化为辅助方程（即多项式方程）而得到封闭形式。

如果你现在想要 Tetranacci 的比率，即序列中的每个项都是前四个项的总和。它将是方程 x^4 = x^3 + x^2 + x + 1 的正实根，约为 1.928 。

概括

n 阶 nacci 数列的比率是以下方程的正根：



那么当 n 趋近于无穷大时，这是否有一个极限？答案是肯定的，而且我们不需要求解每个多项式来找到它。我们可以考虑一个叫做“无穷纳契（Infinacci）”的数列，其中每一项都是之前所有项的和。从 0 和 1 开始，以下是前几个项：



每次都只是翻倍而已。你可以看到，每一项都只是前一项的两倍。我称这个“无穷纳契”实际上就是 2 的幂次方。因此不言而喻，这个数列的比率是 2 。当 n 趋近于无穷大时，每个 n-nacci 序列的黄金比率趋近于 2 。

封闭形式

正如承诺的那样，我将介绍斐波那契数列和三阶斐波那契数列的闭式表达式。计算闭式需要找到辅助方程的每个根，因此我不建议对任 n-nacci 数列尝试此方法！

令 φ1 为黄金比率，φ2 为 x^2 = x + 1 的另一个解。



令 ψ1 为 Tribonacci 比率。令 ψ2 和 ψ3 为 x^3 = x^2 + x + 1 的另两个解。



你知道这个是怎么来的吗？如果你想要一篇关于使用辅助方程推导斐波那契闭式的文章，请告诉我。



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