第52号梅森素数

yangchuanju

指数10000以内尚未找到任何素因子的梅森数2^n-1（54个）——                       
status        n        digits        number
C        1277        385        2^1277-1<385> = 2601983048...71<385>
C        1619        488        2^1619-1<488> = 2331111140...87<488>
C        1753        528        2^1753-1<528> = 5076710506...91<528>
C        2267        683        2^2267-1<683> = 2722702375...27<683>
C        2273        685        2^2273-1<685> = 1742529520...91<685>
C        2423        730        2^2423-1<730> = 2487021237...07<730>
C        2521        759        2^2521-1<759> = 7881684910...51<759>
C        2713        817        2^2713-1<817> = 4947413802...91<817>
C        2719        819        2^2719-1<819> = 3166344833...87<819>
C        2851        859        2^2851-1<859> = 1723922103...47<859>
C        3049        918        2^3049-1<918> = 6925590032...11<918>
C        3673        1106        2^3673-1<1106> = 4821410105...91<1106>
C        3691        1112        2^3691-1<1112> = 1263903730...47<1112>
C        3847        1159        2^3847-1<1159> = 1154498357...27<1159>
C        3881        1169        2^3881-1<1169> = 1983413075...51<1169>
C        3919        1180        2^3919-1<1180> = 5451964347...87<1180>
C        4007        1207        2^4007-1<1207> = 1687301239...27<1207>
C        4049        1219        2^4049-1<1219> = 7420829329...11<1219>
C        4261        1283        2^4261-1<1283> = 4884403392...51<1283>
C        4363        1314        2^4363-1<1314> = 2476686756...07<1314>
C        4567        1375        2^4567-1<1375> = 6367811477...27<1375>
C        4583        1380        2^4583-1<1380> = 4173208929...07<1380>
C        4703        1416        2^4703-1<1416> = 5547146141...07<1416>
C        4721        1422        2^4721-1<1422> = 1454151078...51<1422>
C        5471        1647        2^5471-1<1647> = 8612044745...47<1647>
C        5503        1657        2^5503-1<1657> = 3698845053...07<1657>
C        5839        1758        2^5839-1<1758> = 5177792975...87<1758>
C        6007        1809        2^6007-1<1809> = 1937242345...27<1809>
C        6073        1829        2^6073-1<1829> = 1429432550...91<1829>
C        6247        1881        2^6247-1<1881> = 3422810951...27<1881>
C        6581        1982        2^6581-1<1982> = 1197847317...51<1982>
C        6733        2027        2^6733-1<2027> = 6838499280...91<2027>
C        6763        2036        2^6763-1<2036> = 7342782691...07<2036>
C        6971        2099        2^6971-1<2099> = 3020645595...47<2099>
C        7069        2128        2^7069-1<2128> = 9572808005...11<2128>
C        7127        2146        2^7127-1<2146> = 2759174052...27<2146>
C        7321        2204        2^7321-1<2204> = 6927846492...51<2204>
C        7621        2295        2^7621-1<2295> = 1411227254...51<2295>
C        8291        2496        2^8291-1<2496> = 6913437644...47<2496>
C        8329        2508        2^8329-1<2508> = 1900351269...11<2508>
C        8369        2520        2^8369-1<2520> = 2089458317...11<2520>
C        8389        2526        2^8389-1<2526> = 2190955844...11<2526>
C        8581        2584        2^8581-1<2584> = 1375285273...51<2584>
C        8681        2614        2^8681-1<2614> = 1743381202...51<2614>
C        8923        2687        2^8923-1<2687> = 1232115184...07<2687>
C        8999        2709        2^8999-1<2709> = 9309599118...87<2709>
C        9011        2713        2^9011-1<2713> = 3813211798...47<2713>
C        9227        2778        2^9227-1<2778> = 4015780731...27<2778>
C        9463        2849        2^9463-1<2849> = 4434543998...07<2849>
C        9473        2852        2^9473-1<2852> = 4540973054...91<2852>
C        9551        2876        2^9551-1<2876> = 1372424893...47<2876>
C        9679        2914        2^9679-1<2914> = 4670119910...87<2914>
C        9857        2968        2^9857-1<2968> = 1789234484...71<2968>
C        9929        2989        2^9929-1<2989> = 8449420959...11<2989>

yangchuanju

所有的梅森数及其素因子之中不会有相同的因子，或者说所有的梅森数都是互素的；
所有的梅森数之中不会有平方、立方等幂数因子。
例23是梅森数2^11-1的一个素因子，23不会再是其它任何一个梅森数的素因子；任何一个梅森数之中都不会有因子23^2或23^3。

所有的梅森数都是模8余7的，但它的素因子可能是模8余7，也可能是模8余1；
一个梅森数如果有两种模8余数出现，则模8余7的素因子个数一定是奇数；模8余1的素因子个数无奇偶分别。
例2^29-1=233*1103*2089，三素因子分别模8余1,7,1；
2^397-1<120>=2383*6353*50023*53993*202471*5877983*814132872808522587940886856743<30>*1234904213576000272542841146073<31>*6597485910270326519900042655193<31>，
九素因子分别模8余7、1、7、1、7、7、7、1、1，5个7，4个1。
这是因为，偶数个模8余7整数的积总是模8余1的，剩余一个模8余7的素因子，才能保证梅森数模8余7。

yangchuanju

已知梅森数2^1213-1尚未分解到底，第2素因子63位，为
p2=715079841864486572798550389025242773233223013545064445043124471
大于p2的形式为1213*8k+1和1213*(8k+6)+1（后6位数字不同）的63位奇数还有180个，其中的素数只有3个——
715079841864486572798550389025242773233223013545064445043658191 is prime
715079841864486572798550389025242773233223013545064445043451981 is prime
715079841864486572798550389025242773233223013545064445043888661 is prime
经检验（试除）它们都不是梅森数2^1213-1的素因子。

想找一个梅森数的较大素因子，试除法是走不通的，这里只是找一找试除的方法罢了！

yangchuanju

尚未完全分解的几个不太大的梅森数（n=1213--1499）：                       
status        n        digits        number
CF        1213        366        2^1213-1<366> = 327511 · 7150798418...71<63> · 6022881435...11<297>
CF        1217        367        2^1217-1<367> = 1045741327<10> · 6116773272...79<55> · 2205339002...99<56> · 1599862690...13<248>
CF        1229        370        2^1229-1<370> = 36871 · 46703 · 10543179280661916121033<23> · 9536289355...57<55> · 5339295584...87<284>
CF        1231        371        2^1231-1<371> = 531793 · 5684759 · 18207494497<11> · 63919078363121681207<20> · 1050967524...39<329>
CF        1237        373        2^1237-1<373> = 2538207129...83<70> · 9323469976...37<303>
CF        1249        376        2^1249-1<376> = 97423 · 52358081 · 2379005273<10> · 9345276045907272726364012481<28> · 8547356648...69<326>
CF        1259        379        2^1259-1<379> = 875965965904153<15> · 1283780190...31<56> · 8826461643...09<309>
CF        1283        387        2^1283-1<387> = 4824675346114250541198242904214396192319<40> · 3451567269...53<347>
CF        1291        389        2^1291-1<389> = 998943080897<12> · 84051400422953302189544581841<29> · 5077368744...11<348>
CF        1297        391        2^1297-1<391> = 12097392013313<14> · 64873964199444497<17> · 8002586889...13<59> · 4344219763...47<302>
CF        1319        398        2^1319-1<398> = 712292734142687<15> · 4561015525367423385817952015799767<34> · 528143874978418020442958250948319387628471<42> · 6669479906...93<307>
CF        1367        412        2^1367-1<412> = 10937 · 65617 · 232391 · 2561759 · 29769631481404601<17> · 2532552493...27<375>
CF        1381        416        2^1381-1<416> = 8287 · 462853283623<12> · 20314602484365657521<20> · 324347780588879609356756802551<30> · 5717943157...99<61> · 3651945025...19<291>
CF        1423        429        2^1423-1<429> = 1699063 · 104904621559<12> · 1302206101...71<412>
CF        1429        431        2^1429-1<431> = 1757766958557127850108708353<28> · 8450891136...87<403>
CF        1439        434        2^1439-1<434> = 2879 · 46049 · 172681 · 802732845007<12> · 70570366382050360064160741167<29> · 1172907954...73<380>
CF        1447        436        2^1447-1<436> = 57881 · 1754380423<10> · 135870799392023187135247<24> · 329476003535938830704093614193630509247<39> · 8566314356...81<360>
CF        1451        437        2^1451-1<437> = 2903 · 174121 · 696481 · 17009142910813751<17> · 1040480191...99<407>
CF        1453        438        2^1453-1<438> = 8719 · 6479507883338993<16> · 4411385379...73<418>
CF        1481        446        2^1481-1<446> = 71089 · 3915278233<10> · 12787706913743<14> · 3993419580376129303010329<25> · 8268138870080189511875976090034105337<37> · 8348981870260729786758008817506660899281935231<46> · 6818355578...47<311>
CF        1483        447        2^1483-1<447> = 910188101009715972185070554697411008108729<42> · 2940034427...83<405>
CF        1493        450        2^1493-1<450> = 3788526319<10> · 9128086063638824541964831110329768544223<40> · 7923799749...43<400>
CF        1499        452        2^1499-1<452> = 2999 · 400453196195527405748338277279809339221225225247<48> · 1460277085...79<401>

太阳

已知:\(a^2+ab+b^2-2a+b=cm\)，\(t^2+ty+y^2-2t+y=cm\)，\(a=c\)
\(a=b+1\)，\(y=b-2\)，整数\(a\ne0\)，\(b\ne0\)，\(t\ne0\)，\(y\ne0\)
奇数\(c＞0\)，\(m＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(c=k\)，\(m=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2-2a+b=cm\)，\(t^2+ty+y^2-2t+y=cm\)，\(-a=c\)
\(a=b+1\)，\(y=b-2\)，整数\(a\ne0\)，\(b\ne0\)，\(t\ne0\)，\(y\ne0\)
奇数\(c＞0\)，\(m＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(c=k\)，\(m=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2+2a-b=cm\)，\(t^2+ty+y^2+2t-y=cm\)，\(a=c\)
\(a=b-1\)，\(y=b+2\)，整数\(a\ne0\)，\(b\ne0\)，\(t\ne0\)，\(y\ne0\)
奇数\(c＞0\)，\(m＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(c=k\)，\(m=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2+2a-b=cm\)，\(t^2+ty+y^2+2t-y=cm\)，\(-a=c\)
\(a=b-1\)，\(y=b+2\)，整数\(a\ne0\)，\(b\ne0\)，\(t\ne0\)，\(y\ne0\)
奇数\(c＞0\)，\(m＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(c=k\)，\(m=p\)
本帖命题可能是正确的素数公式

太阳

已知:\(a^2+ab+b^2-2a+b=cm\)，\(t^2+ty+y^2-2t+y=cm\)，\(a=c\)
\(a=b+1\)，\(y=b-2\)，整数\(a\ne0\)，\(b\ne0\)，\(t\ne0\)，\(y\ne0\)
奇数\(c＞0\)，\(m＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(c=k\)，\(m=p\)
例1:c=11，m=29，a=b，a=11，b=10，a=b+1，y=10-2，t=-19，判断11是素数，29是素数

太阳

15楼，命题是错误，找到反例