阿基米德的穷竭法：简单的方法、伟大的思想

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阿基米德的穷竭法：简单的方法、伟大的思想

原创 灵犀 问号课堂 2024 年 09 月 02 日 13:47 北京

本文是 AI 科普：从亚里士多德到 ChatGPT 系列的第 3 篇。

阿基米德是古希腊时期最后一位全能型的大师，大致生活在公元前 287 年到公元前 212 年之间。

他在物理学、数学和天文学等领域都做出了很大的贡献，比如物理学中的浮力原理、杠杆原理，数学中的圆周率、阿基米德螺线、求球体和圆柱体的面积和体积等。

他也是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其他两位是牛顿和高斯。

本文我们以求解弓形面积介绍阿基米德的穷竭法，这个方法不仅在微积分发展史上占据重要地位，其所蕴含的无穷拆分、无限逼近的思想，也被许多 AI 算法所应用。

01  穷竭法应用

接下来，我们先简要介绍一下阿基米德对于穷竭法的具体使用。

问题：求解抛物线弓形的面积，利用简单形状（如正方形、三角形、矩形）的已知面积，表示出未知的弓形面积。



过程：

1) 将抛物线弓形想象成由无穷多个三角形碎片粘在一起形成的图形。阿基米德的思路是先算出所有三角形的面积，再把它们加起来，得出他想知道的曲线形状的面积。但是，三角形有无穷多个。



2) 在切分时，先确定大三角形的第三个角的位置（即切点），另外两个角的定点就是斜线与抛物线的交点。



3) 阿基米德证明了每个新构建的三角形的面积都是上一层级三角形面积的 1/8 ，也就是说下一层级的三角形面积是上一层级三角形的 1/4（证明步骤省略）。

4) 所以，问题转换成一个无穷级数问题：



每一项乘以 4 ，就会得到



最后，可求得 S = 4/3 ，就是说，抛物线弓形的面积是大三角形面积的 4/3 。其中，三角形面积可以根据公式求得，因此，弓形面积也可以得到。

02  穷竭法思想

相信许多同学看完上面阿基米德对于穷竭法的应用，会不禁发生感慨：这也不复杂嘛！要是换作我，也能分分钟解出来的嘛。

但是，别忘了，阿基米德想到这个方法可是在 2000 多年以前，那个时候的数学以人类的年龄来算，还是一个小娃娃。

下面，我们再来探讨一下，阿基米德的穷竭背后都蕴含了哪些重要的思想。

一是无穷小的思想。从穷竭法这个方法本身来看，阿基米德内心是接受无穷小的。当然，对于现代的我们来讲，无穷小早就不那么稀奇了。

然而，在古希腊时期，亚里士多德的思想当时还占据着绝对主导地位。那么，为什么亚里士多德坚持要反对无穷小呢？

原因也不复杂，因为无穷小的存在本身会推导出上帝不存在。

我们知道，亚里士多德自然哲学观的核心是目的论，也就是说一个事物的背后向前不断追溯原因，会形成一个原因的链条，而这个链条的第一个，也就是第一因就是上帝。

很多同学这里会问，这个和无穷小有啥关系呢！大家可以再细想一下，如果存在第一因的话，说明这个原因的链条是无穷长还是有限长的呢？

如果是无穷长的话，那么根本就不会有第一因，因此上帝也就不存在。所以，不论是古希腊时代，还是中世级时代的教会，都极力否认无穷小的存在，这才是主因。

阿基米德既然使用了穷竭法，那说明他内心没有受到教会思想的羁绊，内心接纳无穷小的存在，只要这个方法能带来现实中的用处。这放在古希腊时期是极为难得的。

正是由于有阿基米德这些人内心的坚守，无穷小的火光才会一直照耀下去，直到微积分这个人类历史上最伟大数学概念的诞生。

二是无序的尽头蕴含着有序的思想。相信许多同学在看到阿基米德得到的下面这个级数时，会认为这个 S 得不到一个有意义的数吧？很可能就像 π 一样是一个有无穷多个小数的无理数。



然而，最终 S 却是一个整数或有理数。就像由 π 最终形成的圆一样，竟然一个无理数最终会构成一个完美的图形！

难道，无序的尽头是有序吗？

没错，很多无穷级数，包括微积分中的积分，虽然都包含无穷多个项的加总，但最终都会收敛到一个有序的值。

三是不断分割逼近的思想。有些情况下，无序的尽头不一定是有序，例如有很多级数就并不是收敛的。而且，有些时候即便可以拆分到无穷小，但是也仅仅是理论上可能，现实中要受计算机处理时间的约束。

那么，穷竭法是否还有现实的意义呢？实际上，在处理很多现实中的问题时，都会有一个“度”的范围要求，可能是精度、也可能是准度，只要能达到一定范围之内，结果就是有用的。

因此，穷竭法中蕴含的不断分割逼近的思想，将一个大问题拆分成许多个小问题，或是许多个小步骤，在现实问题处理中非常有意义。

03  穷竭法在 AI 中的应用

穷竭法看着简简单单。然而，正如老子所说的大智若愚，大巧若拙。直至 2000 年之后的今天，它仍是许多 AI 算法的思想源泉。

下面，我们简单列举几个 AI 的应用案例。

一是神经网络，它也是深度学习的核心基础。目前一些在 AI 领域大方异彩的应用，基本都是基于神经网络算法，比如人脸识别、语音识别、机器翻译、AlphaGo 、自动驾驶、ChatGPT 等。

实际上，神经网络看起来并不复杂，只是一些连接起来的节点而已。相信许多同学会有疑问，为什么神经网络的威力如何之大呢？

而且，好像只是网络节点数量的增加，就能带来量变引发质变的效果，比如以现在火热的 ChatGPT 等大模型来说，动不动就上千亿、上万亿个参数，这么巨量的参数也带来了惊艳的效果，这一切背后的原理到底是什么呢？

实际上，神经网络本身深刻地体现了无穷小以及无序的尽头是有序的思想。将一个大的事物无限的进行切分，直至切分到无穷小。

然而将这些看起无序的节点累加起来，就能达到一个非常有序的状态，想想是不是很神奇。

大家可以再拿人类对比一下，人体本身是由巨量的细胞构成的，这些细胞各干各的，然后综合起来却能形成意识，是不是一样的神奇。

二是决策树、二分查找、动态规划等算法，这些算法的背后实际上都体现了不断分割逼近的思想。

在面对复杂难题时，我们常常感到无从下手，这时，采用分而治之的策略，将大问题分解为一系列小问题，逐步逼近最优解，便成为了一种高效的方法。

以决策树为例，它通过不断分割数据集，基于特征值进行判断，构建出一棵树形结构，从而实现分类或回归的目标。这一过程，正是分割与逼近思想的生动体现。

动态规划虽然在表面上不以“分割”为直接表现，但其精髓在于将复杂问题分解为更小的子问题，通过逐步构建解决方案，最终逼近最优解。这种逐步逼近的策略，与分割思想不谋而合，展现了算法设计中的智慧与艺术。

04  小结

许多同学对数学或算法抱有畏惧感，往往源于那些看似复杂的公式，它们如同一道难以逾越的高墙，让人望而却步。

然而，每一种算法背后，都蕴藏着一个核心思想。一旦掌握了这个思想，算法的面纱便会被揭开，理解起来也就更加容易了。

正如我们所见，2000 多年前阿基米德提出的穷竭法，虽然简单，却蕴含着无穷的智慧。它不仅直接催生了微积分的诞生，更成为了现代许多 AI 算法的基石。这正说明，算法的本质往往并不复杂，它们的根源，往往来自于那些看似简单，却充满智慧的思想。

因此，在学习许多 AI 算法时，我们不应被表面的复杂性所吓倒，而应深入探究其背后的逻辑与思想，这样才能真正理解并掌握它们。

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