一半高一学生做不来的经典不等式题目

luyuanhong

一半高一学生做不来的经典不等式题目

原创 数之缘 高中数学学习方法研究 2024 年 10 月 20 日 22:51 山东

本文分享的题目是一个典型的不等式问题，估计高一同学有一半左右不能顺利做出正确答案。怎么样各位小伙伴们要不要来试一试？

例题：



分析：

这个题看似简单，但是对于初学不等式的小伙伴来说却是有着太多的陷阱。

稳妥一些的做法是先展开，然后利用不等式和函数单调性来做。

因此，这个题目还是有一定的综合性，是一道很典型的能反映基本功是否扎实的经典好题目。

解：



上述求解过程中，两次应用了基本不等式（其中一次是求 xy 的范围），也应用了对勾函数的单调性。

由于展开式分成的两组分别求得了最小值，然后两组的取等条件恰好一致，即两个不等式的等号可以同时成立。

这样，两式叠加就得到了所求的最小值。

读者可以仔细品味上述求解过程，能否从其中悟出来一些有价值的思维方法呢？

怎么样，各位小伙伴，这道题你们是做对的还是猜对的？

高中数学学习方法研究

王守恩

\(设x,y∈R^+,且x+y=1,求\big(x+\frac{1}{x}\big)\big(y+\frac{1}{y}\big)的最小值。\)

\(瞪眼！x,y交换位置，算式不变,可看作x=y。x+y=1=>x+x=1=>x=\frac{1}{2}\)

\(\big(x+\frac{1}{x}\big)\big(y+\frac{1}{y}\big)的最小值=\big(x+\frac{1}{x}\big)\big(x+\frac{1}{x}\big)=\big(\frac{1}{2}+2\big)\big(\frac{1}{2}+2\big)=\frac{25}{4}\)

\(变化一下,发挥遐想。\)

\(设x,y∈R^+,求\big(x+\frac{1}{x}\big)\big(y+\frac{1}{y}\big)的最小值。\)

\(设x,y∈R^+,求\big(x+\frac{2}{x}\big)\big(y+\frac{2}{y}\big)的最小值。\)

\(设x,y∈R^+,求\big(x+\frac{3}{x}\big)\big(y+\frac{3}{y}\big)的最小值。\)

\(\cdots\cdots\)

陆老师！反馈一下？请题主来《数学中国论坛》逛一逛，这里还是有很多宝藏的。

波斯猫猫

思路：令x=(sinα)^2，y=(cosα)^2，0＜α＜π/2，

则(x+1/x)(y+1/y)=[(sinα)^2+1/(sinα)^2][(cosα)^2+1/(cosα)^2]

4{[1-(sin2α)^2/4]^2+1}/(sin2α)^2≥4{[1-1/4]^2+1}=25/4.

当且仅当sin2α=1，即x=y=1/2时，(x+1/x)(y+1//y)取得最小值25/4.

波斯猫猫

思路：令x+1/x=a，y+1/y=b，由x+y=1有，x+y+1/x+1/y=a+b，1/xy=a+b-1.

又x+y=1，且x，y∈R+，故0＜xy≤1/4，即1/xy≥4.

当且仅当x=y=1/2时，(1/xy)min=4. 从而a+b-1≥4，即a+b≥5.

又a+b≥2√(ab)，故2√(ab)≥5，即ab≥25/4，或(x+1/x)(y+1//y)=ab≥25/4.

波斯猫猫

思路3（降元法）：由x+y=1,且x,y∈R+，不妨令x=1/2+r，y=1/2-r，0≤r＜1/2，

则(x+1/x)(y+1/y)=[1/2+r+1/(1/2+r)][1/2-r+1/(1/2-r)]

=[(2r^2+3/2)^2+4]/(1-4r^2).

故，当且仅当r=0，即x=y=1/2时，[(x+1/x)(y+1//y)]min=25/4.

注：思路3（降元法）的代换：x=1/2+r，y=1/2-r (0≤r＜1/2)，极大地显示了
它的优越性，运算简便，且知识点只用到了初中二次函数求最大最小值.