试问：在 9^2，9^3，9^4，…，9^4000 中，有几个数字的首位数字是 9 ？

allen125

請教大家

王守恩

9*9*9*9*9*9*......,  积的最高位数字=9。

9^22=984770902183611232881。
9^44=969773729787523602876821942164080815560161。
9^66=955004950796825236893190701774414011919935138974343129836853841。
9^88=940461086986004843694934910131056317906479029659199959555574885740211572136210345921。
9^110=926138713099787670959935798024513966701772293499227988263405269197039529170894882252068039219702299428401。
9^132=912034456046446591670769941126967809732389880154759674362919253085466672523897586208912607420113148072606337611541329196453281。
9^153=99793888233710926097676673961542382339552034110870991187709058567130998942396826836880350287497238272034603157195937657211050782186192219658614729。
9^175=98274117348321974353044780928022697503543794108996224149902690255438168118107927224939057895356483251830948245334782867413814443266637838233302304694183773324275704249。

22, 44, 66, 88, 110, 132, 153, 175, 197, 219, 241, 263, 285, 306, 328, 350, 372, 394, 416, 438, 459, 481, 503, 525, 547, 569, 591, 612, 634, 656, 678, 700, 722, 744, 765, 787, 809, 831, 853, 875, 897, 918, 940, 962, 984, 1006,
1028, 1050, 1071, 1093, 1115, 1137, 1159, 1181, 1202, 1224, 1246, 1268, 1290, 1312, 1334, 1355, 1377, 1399, 1421, 1443, 1465, 1487, 1508, 1530, 1552, 1574, 1596, 1618, 1640, 1661, 1683, 1705, 1727, 1749, 1771, 1793,
1814, 1836, 1858, 1880, 1902, 1924, 1946, 1967, 1989, 2011, 2033, 2055, 2077, 2099, 2120, 2142, 2164, 2186, 2208, 2230, 2251, 2273, 2295, 2317, 2339, 2361, 2383, 2404, 2426, 2448, 2470, 2492, 2514, 2536, 2557, 2579,
2601, 2623, 2645, 2667, 2689, 2710, 2732, 2754, 2776, 2798, 2820, 2842, 2863, 2885, 2907, 2929, 2951, 2973, 2995, 3016, 3038, 3060, 3082, 3104, 3126, 3148, 3169, 3191, 3213, 3235, 3257, 3279, 3301, 3322, 3344, 3366,
3388, 3410, 3432, 3453, 3475, 3497, 3519, 3541, 3563, 3585, 3606, 3628, 3650, 3672, 3694, 3716, 3738, 3759, 3781, 3803, 3825, 3847, 3869, 3891, 3912, 3934, 3956, 3978, 4000, 4022, 4044, 4065, 4087, 4109, 4131,  ......

4000是第183个数。183 = Floor[4000* (1 - Log10[9])],  当然 4000 可以改成任意数。

Log10[9] = 0.9542425094393248745900558065102306184002577283813917296597312806104583055673222460859367112952326030

allen125

請問有手算的方式嗎

luyuanhong

王守恩

allen125 发表于 2024-12-5 09:07
請問有手算的方式嗎

挺不错的题目！！！谢谢 allen125 ！

一, 试问：在 9^2，9^3，9^4，…，9^4000 中，有几个数字的首位数字是 9 ？

答：在 9^2，9^3，9^4，…，9^4000 中，有 183 个数字的首位数字是 9 。

    Floor[4000* (1 - Log10[9])] = 183,  

二, 试问：在 9^2，9^3，9^4，…，9^n 中，有几个数字的首位数字是 9 ？

答：在 9^2，9^3，9^4，…，9^n 中，有 k 个数字的首位数字是 9 。

   Floor[n* (1 - Log10[9])] = k,  

题主有更好的方法吗？搬运一下？辛苦了！谢谢！

王守恩

northwolves 给出了通吃公式。谢谢 northwolves！！！

k*k*k*k*k*k*......, 积的最高位数字=a。

譬如：k=9, a=9。
Select[Range@800, First@IntegerDigits[9^#] == 9 &]
{1, 22, 44, 66, 88, 110, 132, 153, 175, 197, 219, 241, 263, 285, 306, 328, 350, 372, 394, 416, 438, 459, 481, 503, 525, 547, 569, 591, 612, 634, 656, 678, 700, 722, 744, 765, 787}

譬如：k=99, a=9。
Select[Range@800, First@IntegerDigits[99^#] == 9 &]
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 459, 460, 461, 462, 463, 464, 465, 466, 467, 468, 688, 689, 690, 691, 692, 693, 694, 695, 696, 697}

譬如：k=17, a=5。
[Select[Range@500, First@IntegerDigits[17^#] == 5 &]
{12, 25, 38, 51, 64, 77, 90, 103, 116, 129, 142, 155, 168, 181, 194, 207, 216, 229, 242, 255, 268, 281, 294, 307, 320, 333, 346, 359, 372, 385, 398, 411, 424, 437, 450, 459, 472, 485, 498}

譬如：k=5, a=8。
Select[Range@700, First@IntegerDigits[5^#] == 8 &]
{50, 60, 70, 80, 90, 143, 153, 163, 173, 183, 246, 256, 266, 276, 286, 339, 349, 359, 369, 379, 442, 452, 462, 472, 482, 535, 545, 555, 565, 575, 628, 638, 648, 658, 668}