已知 x+y=1 ，且 x,y∈R+ ，求 (x+1／x)(y+1／y) 的最小值

波斯猫猫

题：已知 x+y=1，且 x,y∈R+，求 (x+1／x)(y+1／y) 的最小值.

(原题见数学期刊《一半高一学生做不来的经典不等式题目》)

思路1（三角法）：令x=(sinα)^2，y=(cosα)^2，0＜α＜π/2，

则(x+1/x)(y+1/y)=[(sinα)^2+1/(sinα)^2][(cosα)^2+1/(cosα)^2]

=4{[1-(sin2α)^2/4]^2+1}/(sin2α)^2≥4{[1-1/4]^2+1}=25/4.

当且仅当sin2α=1，即x=y=1/2时，(x+1/x)(y+1//y)取得最小值25/4.


思路2（换元法）：令x+1/x=a，y+1/y=b，由x+y=1有，x+y+1/x+1/y=a+b，1/xy=a+b-1.

又x+y=1，且x，y∈R+，故0＜xy≤1/4，即1/xy≥4.

当且仅当x=y=1/2时，(1/xy)min=4. 从而a+b-1≥4，即a+b≥5.

又a+b≥2√(ab)，故2√(ab)≥5，即ab≥25/4，或(x+1/x)(y+1//y)=ab≥25/4.

波斯猫猫

知道吗，为何不能a+b≥5≥2√（ab）？

波斯猫猫

思路3（降元法）：由x+y=1,且x,y∈R+，不妨令x=1/2+r，y=1/2-r，0≤r＜1/2，

则(x+1/x)(y+1/y)=[1/2+r+1/(1/2+r)][1/2-r+1/(1/2-r)]

=[(2r^2+3/2)^2+4]/(1-4r^2).

当且仅当r=0，即x=y=1/2时，[(x+1/x)(y+1//y)]min=25/4.

luyuanhong

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wintex

波斯猫猫 发表于 2024-12-7 12:07
知道吗，为何不能a+b≥5≥2√（ab）？

請問老師為什麼？

波斯猫猫

思路3（降元法）的代换：x=1/2+r，y=1/2-r (0≤r＜1/2)，极大地显示了
它的优越性，运算简便，且知识点只用到了初中二次函数求最大最小值.