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复数,居然无法走出平面!

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发表于 2024-12-11 18:40 | 显示全部楼层 |阅读模式
复数,居然无法走出平面!

原创 笑看数学 笑看数学 2024 年 10 月 26 日 23:59 北京

我们知道数学里的 i :



有了 i 以后,我们的数域扩充到了复数,任意一元 n 次方程都有了 n 个根,完美多了。而且复数运算起来也非常优雅,加减乘除都和实数一样可以运算,感觉上简直就是把 i 当成个变量参与进去运算就行了,和实数衔接得很好。

我们知道,复数与二维平面上的点是一一对应的。如图所示:



那问题就来了,我们人类明显是生活在三维空间啊,为啥不搞个“三维复数”出来呢,然后让它也满足实数、2 维复数的基本性质,比如加减乘除交换律结合律……,这种高维复数存在吗?会不会更有用呢?依葫芦画瓢,建立“三维复空间”可以吗?



答案很简单,不行!因为运算规则居然无法定义!别急,听我慢慢道来。首先 i 平方为 -1 ,j 平方自然也是 -1 ;

i 乘以 1 为 i ,j 乘以 1 自然是 j 。

那问题来了“i 乘 j”结果应该是啥?

简单推算一下可以发现 ij 居然“啥都不是”:





简单说明就是第一个推理说明 ij 不可能为任意实数,第二个推理又说明 ij 应该是 1 或 -1 ,没法兼容,说明 ij 根本就无法取值,无法定义,连这都定义不了,那“3 维复数”自然就没了。而且很显然“4 维复数”,“5 维复数”……也必然存在这个问题,所以复数的高维扩充之路直接就被宣判死刑了,那么好用的复数,居然走不出平面,想来真是令人惋惜。

不过也不用绝望,还是有好消息的。数学界在复数高维扩充之路上,还是做了一些其他的努力尝试。我们回想一下上面的“高维复数”为啥会无法定义,很重要的一点就是“二维复数”的性质太好了,加减乘除结合律交换律等等都满足,要原封不动继续满足这些好的性质,那就无法继续定义“高维复数”了,如果砍掉某些性质,是否可以定义高维空间的复数呢?此时的答案就变成肯定了。

比如说“四元数”



砍掉了“交换律”。里面 ij=k ,而 ji=-k ,明显已经不再满足交换律了。

还有“八元数”



八元数不具备结合律和交换律,但具备交错代数的特性,并保有幂结合性。

还有更复杂的十六元数:不符合交错性,符合幂结合性。当然还可以继续扩充下去得到三十二元数、六十四元数......感兴趣的可以去了解一下凯莱-迪克森结构

笑看数学

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