欧拉公式推导

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欧拉公式推导

原创 金朝老师来上课 数据分析学习与实践 2024 年 12 月 13 日 20:27 美国

人们普遍认为欧拉是有史以来最伟大的数学家之一，这是理所当然的。以他的名字命名的定理、方程、常数等无与伦比。以他的名字命名的数学课题太多了，以至于如果我提到欧拉公式，我必须说明是具体是哪一个。现在，让我们来考虑一下他的一个特殊身份，即：

欧拉方程 e^(iπ)+1=0 。

事实证明，欧拉方程很可能是由一位更早的数学家罗杰-高兹（Rodger Coats）发现的，他在欧拉还是个孩子的时候就去世了。但不要被这一点所蒙蔽，欧拉在数学上仍有很多贡献，包括在本文课题和许多其他课题上。

无论是资深数学家还是初学微积分的学生，都会对欧拉恒等式的优雅而瞠目结舌。它被誉为 “数学中最美丽的方程”，这是有道理的。它关系到数学中 5 个最基本的常数：

● π — 圆周率

●  e — 欧拉数

●  i — 虚数单位（-1 的平方根）

●  1 — 1

●  0 — 0

这个等式固然美丽，但它只是更一般公式中的一种情况：

欧拉公式 e^(ix)=cosx+isinx 。

对我来说，这比欧拉恒等式有趣得多。它设法将幂运算（实际上是复数幂运算）与三角函数联系起来。因此，这个等式是连接复数相关主题的桥梁，这些主题包括：复数对数、极坐标形式的复数、复角/虚角等。

但是，如何得出这样一个跨度如此大的公式呢？虚数的幂是什么意思？我们真的能说这两个表达式相等吗？

在本文中，将尝试告诉大家如何得到欧拉公式，前提是你知道以下三件事：

● 什么是虚数（i=√-1）

● 微分，一个非常基本的概念，即你要知道什么是导数。

● 还有阶乘，例如，5 阶乘写成 5！等于 5×4×3×2×1=120 。

在我们最终把它们放在一起并证明欧拉公式之前，还有几个问题，需要解释一下。

定理 1 ： i 的幂是循环的

我们必须确定的第一个重要事实是，当你把   用 0、1、2、3 等幂时，一种模式开始出现：

从 0 到 7 的 i 的幂为 i^0=1 ，i^1=i ，i^2=-1 ，i^3=-i ，i^4=1 ，i^5=i ，i^6=-1 ，i^7=-i 。

正如你所看到的，每隔 4 个数字，幂就会重复一次。这样，计算 i 的任意整数幂就很简单了。

要计算 i^n ，只需用 n 除以 4，然后看余数:

如果余数是 0 时 i^n=1 ，如果余数是 1 时 i^n=i ，如果余数是 2 时 i^n=-1 ，如果余数是 3 时 i^n=-i 。

换一种写法:

对于任意整数 n ，有 i^n=i^(n mod 4) 。

其中 (n mod 4) 表示 n 除以 4 后的余数。请记住，只有当 n 是整数（…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…）时才成立，如果是小数或无理数（3/5, π, √2 等）则不成立。

如果不清楚为什么 i 的幂会这样做，请记住：

● 任何 0 的幂的数都是 1 ；

● 任何数字的 1 次幂都是数字本身；

● i^2 是 -1 ，因为 i 的定义是 i=√-1 。

知道了以上法则，更高的幂就是 i 的重复乘法。

定理 2 ：正弦和余弦的导数

证明欧拉公式的第二步是了解正弦和余弦函数的导数：



正弦和余弦的导数是循环的。

如果你想得到正弦和余弦导数的微积分级证明（使用导数的正式定义）。它们都很简短，并使用了三角函数等式，以及 -f(x) 的导数是 f(x) 导数的负数，也就是说，可以从导数中 “抽出 ”负号。

有了 sinx 和 cosx 的导数，我们很快就能发现 -sinx 和 -cosx 的导数是一样的，只是乘以 -1 。

注意导数的模式与 i 的幂的模式相似。每进行第 4 次导数，函数就会循环一次。因此，要找到 sinx 的 n 次导数，只需计算 n mod 4 :

如果余数为 0 则 n 次导数为 sinx ，如果余数为 1 则 n 次导数为 cosx ，如果余数为 2 则 n 次导数为 -sinx ，如果余数为 3 则 n 次导数为 -cosx 。

余弦导数的计算方法大致相同。

另外需要注意的是，我们可以根据需要不断微分 sinx 和 cosx 。具有这种性质的函数称为无限可微。

定理 3 ：指数函数的导数

我们必须牢记的另一个有趣的导数是指数函数的导数。指数函数是 e^x ，其中 e 是欧拉数。这个函数的特别之处在于，它是唯一一个导数就是它本身的函数：



e^x 的导数就是它本身。

有些数学家把指数函数定义为导数是它本身的唯一函数。在这种情况下，证明是不必要的，因为函数的定义本身就是我们要证明的。

指数函数的导数是它本身的导数会产生各种各样的后果，使这个函数的研究变得有趣，但我们现在主要感兴趣的是，这个函数与正弦和余弦函数一样，是无限可微的。无论微分 e^x 多少次，总能得到 e^x ，即 e^x 的 n 次导数是 e^x 。

定理 4 :  泰勒级数

这个定理可能是所有定理中最有趣的一个，它使我们能够将指数函数与后面的两个三角函数联系起来。

1712 年，英国数学家布鲁克-泰勒提出了一个巧妙的方法，将任何可微分函数估计为多项式：



这看起来很复杂，但让我们来分解一下。

f(x) 是我们要逼近的函数。

n 是多项式的度数。

a 是我们以近似值为中心的值。在公式中，我们要对 f(x) 在每个新项的 a 值处进行重复导数求导。

f 上的上标表示我们所讨论的导数。f' 是第 1 次导数，f'' 是 2 次导数，f^(n) 是 n 次导数。

我们选择的 n 越大，估算就越精确。不过，请记住，并非所有函数都是无限可微分的（有些函数的微分次数是有限制的），因此有些函数只能逼近最大 n 值。



在上面的例子中，我们正在逼近以 0 为中心（a=0）的 sinx 函数，并且 n=15 。 因此，这是一个 15 次的泰勒多项式。

请注意，我们添加的项越多（即 n 越大），在 a 值附近的近似值就越像实际函数。因此，有人可能会想：如果我们让 n=∞ 呢？这个无穷多项式不就等于函数而不是近似函数了吗？ 1715 年詹姆斯-格里高利就是这么想的，并且证明了：是的，说一个函数实际上等于这个无限多项式是有效的。这样的无穷多项式被称为泰勒级数。

并不是所有的函数都等于它们的泰勒级数，但是我们可以证明指数函数、正弦函数和余弦函数等于泰勒级数。

在向大家展示这个泰勒级数的表达式之前，我想再说明一点。还记得我们是如何围绕某个中心点  进行近似的吗？如果我们允许 n 无穷大，那么中心点是什么就不重要了。因此，我们可以设置 a=0 来简化表达式。如果我们设置，那么得到的泰勒级数称为麦克劳林级数：



这比我们原来的泰勒多项式函数简单得多，而且功能也强大得多。我们现在可以把一个无限可微函数，因为这是一个无限多项式，每项都需要比上一项更高的导数，变成一个无限多项式展开式。这本身就是一个深奥的等式，但我们要更进一步，用它来推导欧拉公式。

定理 5：指数函数的麦克劳林数列

让我们将新发现的麦克劳林级数知识应用于指数函数，我们已经知道指数函数是无穷微分的：



第一步只是麦克劳林级数的定义。第二步将 e^x 设为 f(x) ，由于 e^x 是其本身的第 n 次导数（定理 3），我们可以将 e^0 插入 f(0)、f'(0)、f''(0)，以此类推，得出第三行。通过简化 e^0（等于 1），我们可以得到指数函数的幂级数：



上面的等式就是所谓的幂级数。它是一个无穷级数，等价于某个函数（此处为 e^x ），而某个变量的幂随每个项的增大而增大。

定理 6：正弦和余弦的麦克劳林数列

现在，让我们从正弦开始，对正弦和余弦进行同样的运算：



第一步同样只是麦克劳林数列的定义。第二步是建立正弦导数（定理 2）。考虑到它们是循环的，我们可以替换第一行中的函数 f(x) ，从而得出第三行。最后，过简化 sin0（等于 0）和 cos0（等于 1），我们得出正弦函数的幂级数:



推导余弦函数的幂级数大致相同：



化简 sin 0 和 cos 0 即可得出余弦函数的幂级数：



欧拉公式：归纳总结

现在我们已经推导出了正弦、余弦和指数函数的幂级数，我们可以看看它们是如何组合在一起的。还记得 i 的幂吗？让我们把它插入 e^x 的幂级数中：



让我们分解一下步骤。第一行是 e^x 的幂级数。第二行只是提醒我们插入 ix 以代替 x 。在第四行，我们将指数分布到 i 和 x 。在第五行，我们回过头来看 i 的幂次，发现它们在这里形成了一个模式。第 6 行只是第 5 行的一种更简洁的写法。

注意我们刚才所做的。我们对指数函数的幂级数进行了调整，使其既可以取虚数，也可以取实数。这样，我们就找到了定义虚数幂级数的方法，至少以 e 为底。但我们还没有完成。

正如你所看到的，我们上面的新指数函数是一个复变函数，即它有一个实部和一个虚部。让我们试着将这两部分拆分开来，使其更加清晰：



在第一行中，我简单地展开了我们新的复指数函数，以显示更多的几项（“…”表示它是无限的，所以我实际写出多少数列并不重要）。在第二行，我将函数拆分为实部和虚部。第三行，我把虚部中的 i 提取出来，使它看起来更简洁。

等一下。这个函数的实部和虚部看起来是不是很眼熟？应该很熟悉，因为



你看看这个！函数的实部与 cosx 的无穷级数相同，虚部与 sinx 的无穷级数相同。就这样，我们成功了！



虽然推导出这个等式应该是对这三个函数之间关系的一次启发性探索，但等式本身及其结果在数学中也具有重要意义。

注：求和符号

对于本文讨论的所有无穷级数，我们都使用了省略号，即“…”，来表示它们永远按照模式进行下去。但这有点乱，尤其是对数学家来说。当然，这些模式可能看起来毫不含糊，但考虑一下下面的数字：

1，2，4，…

图案中的下一个数字是什么？你的第一个猜测可能是 6 ，毕竟这些数字看起来像是 2 的倍数：1,2,4,6,8,… 但是这个图案很容易被 2 的幂所代替： 1,2,4,8,16,…

您可能已经猜到了，还有一种更正式的方法来处理：求和符号



求和符号不仅更严谨，还能让我们以更易于处理的方式表达这些无限和。综上所述，我之所以没有在正文中使用求和符号，是因为我认为就文章内容而言，没有必要介绍它。

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