最伟大的数学理论之一伽罗瓦理论简介

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最伟大的数学理论之一伽罗瓦理论简介

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 11 月 01 日 18:04 陕西



大概在 19 世纪初，19 岁的埃瓦里斯特·伽罗瓦就发现了代数领域最不可思议的理论之一。这个理论与多项式方程的解有关，特别是当这些解可以表示为根式时——或者更精确的说根的表达式涉及加、减、乘、除和开方，例如，我们都知道，形式为 ax^2+bx+c=0 的二次方程（2 次多项式）具有以下根式解：



对于三次方程（3 次）和四次方程（4 次），也可以找到类似的根式表达式（尽管要复杂得多）。伽罗瓦理论则关注的是任何给定的多项式是否有可以表示为根式的解。

这里我们剧透一下，5 次或以上多项式方程的解并不总是可以用根式表示。伽罗瓦理论表明，特定多项式需要满足某些条件才能有可以用这种形式表示的解。这真的很令人惊叹，它统一了代数理论的许多分支，包括群论和域论。

在这期推送中，我们不会对伽罗瓦理论进行全面的阐述——那将需要一本几百页的书。但我们将使用一个例子来说明伽罗瓦理论的基本思想。如果你了解一点群论和一点域论的知识，这将很有帮助，但即使你不了解这些，你仍然可以从概念上掌握这里的一些基本思想。



多项式的解（或根）

为了帮助我说明，我们将选择一个特定的有理系数四次多项式方程：



这个方程的解（或根）是使上面等式成立的 x 的值。实际上，这个多项式方程很特殊，我们可以将该多项式分解为二次方程，如下所示：



这两个二次方程在数学上可以被描述为不可约的，即如果我们不拓展有理数域，它们就无法进一步分解。我们可以看到，这个方程的四个根分别是 x1=i ，x2=-i ，x3=√5 ，x4=-√5 。我们原来的多项式在有理数域 Q 中有系数。但为了将它完全分解为一次式，我们需要将此域——有理数域扩展到域 Q[i , √5] ，这个新的域我们要做一下说明，它是所有形式为 (a + b√5) + (c + d√5)i 的数字的域，其中 a、b、c、d 是有理数。

现在再让我们看看 4 个根 x1=i ，x2=-i，x3=√5，x4=-√5 。我们可以写下这些根之间的很多关系。例如：



在某些情况下，我们可以交换这些根，以使所有这些关系仍然成立。例如，我们可以交换上述所有方程中的 x1 和 x2 ，所有方程仍然成立。我们也可以交换 x3 和 x4 。但是，如果我们交换 x1 和 x3 ，或 x2 和 x4 ，则上述方程中只有一个仍然成立（最后一个）。

多项式的伽罗瓦群

多项式的伽罗瓦群是其根的置换群，使得这些根满足的任何方程也由置换根满足。例如，如果我们取方程



我们知道，如果我们交换 x1 和 x2 ，或者 x3 和 x4 ，或者即使我们将两者同时进行，我们也会得到一个仍然成立的方程。

对于上面的多项式方程 x^4-4x^2-5=0 ，伽罗瓦群包含四个排列：

恒等置换 e，它根本不改变根；

x1=i 和 x2=-i 的交换——我们称之为 (12) ；

x3=√5 和 x4=-√5 的交换——我们称之为 (34) ；

x1 与 x2 以及 x3 与 x4 的组合交换——我们称之为 (12)(34) 。

熟悉对称群 S4（集合 {1, 2, 3, 4} 上所有排列的群）的人会意识到这个伽罗瓦群是 S 的一个子群，由 e、(12)、(34)、(12)(34) 组成——它同构于叉积群 S2×S2 ，也同构于克莱因群 V4 。



该伽罗瓦群有四个正规子群，它们都是可交换的：

1. 由恒等置换 e 组成的平凡子群；

2. 由 e , (12) 组成的子群，——同构于 S2 ；

3. 由 e , (34) 组成的子群，——也同构于 S2 ；

4. 由 e , (12)(34) 组成的子群，——同构于 S2 。

实际上，这给了我们一个伽罗瓦群，它具有非常整洁的正规子群结构，最终达到平凡（恒等）群，并且每个真正规子群都是可交换的：


x^4-4x^2-5=0 的伽罗瓦群结构

任何这样的群，如果其子群结构可以表示为一串正规交换子群，最终会得到平凡（恒等）群，则称为可解群。这在伽罗瓦理论中非常重要，我们很快就会明白为什么。

伽罗瓦对应

回想一下，我们之前讨论过域 Q[i , √5] ，它是包含上述多项式所有根的最小域。我们知道这是有理数 Q 的扩展域，但我们也知道还有其他扩展域严格位于这两个域之间，即：

● Q[ｉ] ，所有形式为 a+bi 的数字，其中 a 和 b 是有理数。

● Q[√5]，是所有形式为 a+b√5 的数字，其中 a 和 b 是有理数。

● Q[i√5] ，是所有形式为 a+bi√5 的数字，其中 a 和 b 是有理数。

因此，我们观察到域的扩展结构与上面的可解伽罗瓦群的结构非常相似：



我们可以注意到以下几点：

● 我们的最大域扩展 Q[i,√5] 显然不会因平凡置换 e 而改变。

● 域扩张 Q[√5] 不会因为 i 和 -i 之间的任何排列（即上面的排列 (12)）而发生变化，因此我们可以说 Q[ｉ] 在子群 S2 下不变。

● 类似地，域扩张 Q[ｉ]在子群 S2 下不变（充当 (34) —— √5 和 -√5 之间的排列）。

● 类似地，域扩张 Q[i√5] 在子群 S2 下不变（充当 (12)(34) —— i 与 -i 以及 √5 与 -√5 的并发排列）。

● 只有我们的最小域 Q 在完全伽罗瓦群 V4 下是不变的。

因此，我们在多项式的伽罗瓦群的可解子群结构和多项式根所涉及的域扩张之间建立了这种迷人的逆对应关系。最大的域扩张在最小正规子群下不变，最小的域扩张在完整的伽罗瓦群下不变。这定义了伽罗瓦对应。它是一种双射对应，因为每个中间域扩张都有一个对应的正规交换子群，每个中间正规子群都有一个对应的中间域扩张。这很可能是整个数学中最美丽的隐藏结构之一。

伽罗瓦理论基本定理

现在，我们可以将所有这些美妙的观察结合在一起，来陈述伽罗瓦理论的基本定理，该定理指出，当且仅当多项式的伽罗瓦群可解时，多项式的根才可以表示为根式。

这可以用来证明任何三次多项式的根都可以表示为根式，因为三次多项式要么可以分解因式，要么不可约。如果可以分解因式，那么我们就完成了，因为我们知道不可约二次方程的根可以表示为根式（其伽罗瓦群是 S2）。如果它不可约，那么它唯一可能的伽罗瓦群要么是 S3——{1, 2, 3} 上的整个对称群——要么是 A3 ，它表示“偶数”排列的子群 {e,(123),(132)} 。S3 和 A3 都是可解的，因为



且 A3 是交换的 ( (123)(132) = e = (132)(123) )。

类似地，任何四次多项式的根都可以表示为一根式解，因为下列之一是正确的：

1. 四次方程可以分解为一个线性因子和一个不可约三次方程，这意味着它的伽罗瓦群与不可约三次方程的伽罗瓦群相同，因此可解，或者

2. 四次方程可以分解为两个不可约二次方程，因此像我们上面的例子一样，它的伽罗瓦群是 V4 ，是可解的。

3. 四次方程可以分解为两个线性因式和一个不可约二次方程，我们知道它可以用根式求解。

4. 整个四次方程是不可约的。在这种情况下，可以证明它的伽罗瓦群是一小组已知可解群之一：对称群 S4、交替群 A4、二面体群 D8、克莱因群 V4  或循环群 Z4 。

五次方程的不可解性

用该理论我们可以证明存在五次方程，其伽罗瓦群不可解，因而可以得出结论，它们的根不能表示为根式。

五次方程 x^5-x-1=0 是一个不可约五次方程。它有一个实根和四个复根。它的伽罗瓦群可以证明是 S5——集合 {1, 2, 3, 4, 5} 上的对称群。S5 的唯一正规子群链涉及交替群 A5 ，但 A5 不是交换群——例如 (123)(12345) = (13452) ，但 (12345)(123) = (13245) 。因此 S5 不是可解群，因此 x^5-x-1=0 的根不能表示为根式。

如果你对伽罗瓦理论的真正详尽论述感兴趣，我极力推荐 Ian Stewart 的书《伽罗瓦理论》。





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