高斯积分的一个精彩证明

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高斯积分的一个精彩证明

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 10 月 08 日 21:37 陕西



高斯积分为许多数学家所熟知。它最初由棣莫弗于 1733 年发现，并于 1809 年与高斯的解法一起首次发表。这个积分在统计学中有着广泛的应用，部分原因是高斯曲线的性质和正态分布。在本文中，我们将以一种新的方式证明这个著名的结果，这似乎是数学家们喜欢做的事情。不过在此之前，我们需要需要回顾一些准备知识。主要是求导的莱布尼茨积分规则，嗯，为了方便起见，我们在下面的图片中给出。



为了节省篇幅，在本文中，我们将不加证明地使用它们。恩我们首先定义两个函数 f(x) 和 g(x) ，如下所示。



接下来，利用上面的莱布尼茨规则，让我们对两个函数关于x进行微分，从 f(x) 开始，这里还需要链式法则。



这里唯一值得注意的是，在我们的莱布尼茨规则中，v(x)=0 ，因此 dv/dx=0 。下面考察 g(x) 。



到目前看似没有方向，但现在将对 g'(x) 进行变量替换 xt =u 后，可以看到一些非常有趣的东西。



眼尖的读者会注意到，这是 f'(x) 的负数，因此我们可以列出有关 f'(x) 和 g'(x) 的简单方程



然后，我们将尝试通过积分，从该方程得到与原始定义不同的 f(x) 表达式。



这也与 f(x)+g(x)=C 相同。我们只需代入 x=0 即可找到 C 。



最后，我们将对该方程取 x→∞ 时的极限，以获得高斯积分的结果。



就这样！这个非常著名的结果得到了一个可爱的证明。希望这能给你一种新的方式来看待推导，并激励你采用这种方法在数学的各个领域寻找新方法。如果你对证明或高斯积分有任何想法，请随时发表评论。



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