如何通俗理解相量（Phasors）

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如何通俗理解相量（Phasors）

原创 金朝老师来上课 数据分析学习与实践 2024 年 10 月 27 日 22:36 北京



说实话，写数学类的博客本来就非常痛苦。数学需要抽象思维，并期望作者能驾很多基本的逻辑规则并轻松地操作数学符号，最后还要以最容易理解的方式介绍给读者。同样的就是为什么在数学史上，大神一直都在找简化复杂性的方法，以使我们的生活更轻松。Phasors 就是一个很好的例子。但相量（Phasors）概念背后的理念究竟是什么，在现实世界中有哪些应用？

正弦函数和指数函数

三角函数和指数函数是数学中使用最广泛的函数之一。它们帮助我们描述了大量不同的自然现象。让我们快速回顾一下它们的一些性质，因为我们在学习相量时会用到这些知识。

正弦函数

余弦和正弦可能是最基本的周期函数。余弦和正弦分别是绕单位圆移动的点的 x 坐标和 y 坐标。正因如此，它们被广泛应用于物理学和数学的各个领域，以描述各种振荡。


将余弦和正弦作为绕单位圆运动的点的“x”和“y”坐标


余弦函数的幅值、角频率和相移

虽然余弦函数和正弦函数在物理和数学的所有学科中都极为重要，但从纯代数的角度来看，它们并不那么容易使用。例如，三角函数的加法和乘法就没有明显的方法。因此，多年来人们编制了大量的公式表，作为三角函数运算的参考。实际上，这些公式在很多情况下都能派上用场，但它们并不总能力挽狂澜，总感觉是查字典一样，丢失了数学的优雅。

除了加法和乘法这些函数的主要代数问题之外，余弦和正弦的另一个缺点在我们看它们的导数和积分时就暴露出来了。很多人都知道，余弦的导数是正弦，反之亦然。在许多情况下，从一个函数跳到另一个函数是不可取的。我们宁愿得到一个只包含一个函数的代数表达式，无论我们对它进行多少次微分或积分。

说了这么多，让我们来看看一个具有上述所有理想特性的函数。

指数函数


指数函数

我们都见过这个函数。它是函数 f(x)=e^x ，其中 e（基数）是欧拉数（e=2.71828…），自变量 “x ”是指数。在所有指数函数中，这是迄今为止最重要的一个。抛开所有实际应用不谈，以 e 为底的指数函数是所有数学函数中最容易操作的函数。我们可以花很多时间来讨论它的性质，但由于读者中的大多数人已经对这些性质非常熟悉，我们只需将它们总结在下图中即可。


指数函数的特性

指数函数在大多数运算中都表现出色。从乘法和平方根到导数和积分，它是每个数学家的梦想。

相量背后的精髓

正如我们在开头所说，我们试图让我们的生活更轻松。如果我们能用指数函数代替数学和物理中遇到的任何正弦函数，那岂不是更好？这将从代数的角度大大简化手头的任何问题。 这就是相量背后的主要思想，也是相量如此受物理学家和数学家欢迎的原因。让我们来看看如何真正做到这一点。

虽然没有必要，但我还是建议阅读本文的读者对复数的基本概念有所了解。

欧拉公式

可以说，欧拉公式是所有数学中最优雅的结果之一。欧拉公式为我们提供了连接三角世界和指数世界的桥梁。这个公式是伦纳德-欧拉于 1748 年发现的。理查德-费曼（Richard Feynman）称这个公式为“所有数学中最杰出、几乎令人震惊的公式之一 ”。


欧拉公式和欧拉恒等式（在欧拉公式中插入 φ=π 即可得到）

上式中的符号“i”是虚数单位。在本文中，你可以把它仅仅看作一个数字。

相量

终于到了深入研究相量概念的时候了。利用 Re 和 Im 函数，我们可以将余弦和正弦分别表示为复数指数的实部和虚部。



在本文的其余部分，我们将重点讨论余弦值，尽管我们要说的一切也适用于正弦值。

通过分解上式中的指数，我们可以得到：



通过分解指数，我们可以得到两个单独指数的乘积。第一个指数只包含参数 φ ，即余弦的初始相位，而另一个指数则包含角频率 ω 和自变量 t 。无论是在物理学还是工程学中，我们的系统中都会存在许多具有相同频率的正弦曲线。但是，它们的振幅和相位却各不相同。这就是相量发挥作用的地方。

相量是一个复数，用来表示正弦函数。这个复数包含函数的振幅和初始相位，但不包含频率。

你已经明白为什么相量如此重要了。如果我们有一个系统，所有正弦波的频率都相同——实际上大多数情况下都是如此——那么我们只需要一个数字，一个复数来表示每个正弦波。如果我们有了这个数字，那么要得到实际的正弦波，只需要乘以包含频率信息的 e^(jωt) 项即可。

相量的几何解释

复数可以被认为是复平面上的箭头，复平面由垂直虚轴和水平实轴定义。箭头的长度表示复数的振幅，而与正实数轴的角度表示其相位（phase）。由于 Phasor 只不过是复数，因此同样适用于它们。


复平面上作为复数的相量

正如我们所看到的，振幅和相位（phase）就是我们完整描述箭头所需的全部。这就是相量中不出现频率的原因。它不是箭头的固有特征。相反，频率告诉我们这个箭头在复平面上逆时针旋转的速度。频率越大，箭头旋转得越快。

相量的应用

由于相量能让我们用复数代替正弦函数，因此只要遇到正弦，我们就能随时使用相量。从电路和电磁场，一直到波和量子力学，相量似乎都占据着主导地位。

电路

当我们处理交流电流和电压时，相量就会在电路中派上用场。在这种情况下，电流和电压都是振荡的，因此我们可以使用三角函数来模拟它们。此外，它们还能帮助我们定义元件的阻抗，简单地说，这一概念使我们能够用阻抗值为复数的电阻代替任何元件（如电容器、电感器等）。

波动力学

波动力学是研究波的物理学领域。波是一种扰动或振荡，它在空间和时间中传播能量和动量，但不传播物质。作为一种振荡，还有什么比正弦波更好的描述方式呢？同样，我们使用欧拉公式将正弦曲线转化为指数。


作为复变函数的波方程

需要注意的是，大多数情况下我们会完全省略 Re{ } 函数，直接将波定义为复数指数。这样做是为了避免反复重写 Re{ } 。相反，当我们找到问题的答案时，我们会在最后说，为了得到实际的实波，无论我们找到了什么解，我们都要取其中的实部。

考虑到这一点，如果我们有一个包含许多相同频率 ω 的波的物理系统，我们就可以通过使用相量来使数学变得更加简单。就像我们之前所做的那样，我们将上面的复指数分解为两个指数，然后丢弃具有频率分量的指数以获得相量。

其他应用

在波动力学中包含相位的所有概念都自然延伸到量子力学和电磁学中。在电磁学中，振荡的量是电场和磁场，我们用相位来描述它们。在量子力学中，情况要复杂一些，因为我们现在处理的是概率波，但从数学角度来看，原理是相同的。

最后的评论

就是这样！你已经了解了相位的基本原理。让我们做一个快速的最后总结：

● 与三角函数相比，指数函数的数学运算更简单。

● 我们使用欧拉公式从一个世界进入另一个世界。

● 此外，如果我们处理的是一个所有振荡频率相同的系统，我们可以将欧拉公式得到的指数分成两半，在代数运算中忽略频率部分。因此，在这种情况下，只需一个复数（即相量）就能完全描述系统中的每个正弦波。

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