数学精神的复兴

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数学精神的复兴

来源：数学大院

撰文：蔡天新

文艺复兴时期的艺术家们，包括画家、建筑师、工程师都对数学有广泛的兴趣，他们受到了希腊哲学的影响，熟悉并满脑子充满了这样的信念：万物皆数；数学是真实的现实世界的本质，宇宙是有秩序的，并能按照几何方式明确地理性化，终极真理的表达方式就是数学的形式。他们既是博学的纯粹数学家，也是优秀的应用数学家。

早在公元 1 世纪或 2 世纪，中国东汉时期的画家已开始采用斜透视（oblique perspective）。如图，北宋时期的水墨画，作者不详，场景是水磨坊，周围河道环绕。这其中，斜透视与景物和人物比例的缩小相结合，达到了很好的效果。有一种说法，中国的斜透视传自印度，后者又来源于古罗马，但是却没有确凿的证据。


宋代水彩画《磨坊》，利用了斜透视技法

据说在公元前 5 世纪的希腊绘画作品中，已经出现透视原理的应用。稍后，亚里士多德在《诗学》中，将透视描述为：在舞台上使用平板来提供深度的幻觉。同时代的希腊画家亚西比德（Alcobiades）也把这一技巧应用于绘画，这位画家可能是雅典将军、政治家亚西比德的后裔，后者是哲学家苏格拉底的生死之交，是典型的聪明而注重自我的雅典人，在伯罗奔尼撒战争期间，他反复于雅典、斯巴达和波斯之间而左右局势。无独有偶，欧几里得在他的光学理论中也引入了透视的数学原理。

酷爱数学的教皇热尔贝

教皇热尔贝与前辈同胞毕达哥拉斯一样，欧几里得在数学之外也有许多爱好，他喜欢天文学、力学和音乐，可谓是多才多艺。据说欧几里得写过一本音乐的书，可惜没有流传下来。不过，他的《光学》却幸运地传了下来，其中的光学理论包含了透视的数学原理。事实上，这本书是最早的希腊文本的透视学。与他的《原本》一样，这本书的开头也列举了公设，总共 12 个，比《原本》（公设和公理各五个）还多两个，由此他推出了 61 个命题。例如，公设 1 说的是：

人看见物体，是光线从眼睛出发射到所看见的物体上去。

这是柏拉图以来的传统观点，后来却被巴士拉（今伊拉克）出生、有着“托勒密第二”雅号的阿拉伯人海桑（Alhazen , 965-1040）给否定掉了。海桑写过一本《光学书》，后来被牛顿誉为最具影响力的物理学著作之一。书中明确指出，“光来自于眼睛所见的物体”。海桑是一位通才（阿拉伯语里叫哈基姆），除了光学，他在数学、天文学、心理学、医学等领域都有建树。他在开罗艾资哈尔大学任教授时，首次提出科学方法，他也被认为是第一个阿拉伯科学家、“科学方法论之父”。

欧几里得证明的命题 6 是：

处于平行位置，大小相同距离不同的物体，在眼中看到的大小并不与远近成比例。

这等于说，



《原本》是古典数学的结晶，讲述的范围也超出几何学的范畴，书中包含了许多基础数论的内容。例如，欧几里得算法（中国典籍称辗转相除法）、算术基本定理，素数有无穷多个的证明，完美数的定义和偶完美数的充分条件，甚至在证明中使用了“任何正整数集合必有最小者”的假设（良序性）。遗憾的是，书中并没有提到任何一个数的递归序列。

用递归序列表示的数列姗姗来迟，至少，在公元后的第一个千年里没有出现，这与罗马人的统治和欧洲漫长的中世纪有关。众所周知，公元前 212 年，在叙拉古（今意大利西西里岛）沙盘上研究几何问题的阿基米德被入侵的罗马士兵刺死，这是一件标志性的历史事件，预示着希腊数学和灿烂的文化走向衰败。从那以后，罗马人开始了野蛮的统治。

而自从 5 世纪罗马帝国瓦解以来，欧洲又进入了漫长的“中世纪”，这个称谓是后来意大利人文主义者命名的，目的是把自己所处的时代与之区别开来，并与古希腊和古罗马遥相呼应。诗人彼得拉克则称其为“黑暗时代”，这与流行了数个世纪的黑死病不无关系，那段时间整个欧洲的数学停滞不前，数学的主要成就是在中国、印度和阿拉伯等东方国家取得的。

大约在公元 1000 年前后，离开中世纪的结束依然十分遥远，欧洲的数学出现了某种转机，或者说是曙光。999 年 4 月 2 日，一位酷爱数学的法国学者和教师热尔贝（Gerbert ，约 945-1003）当上了教皇，他也是第一位法国人教皇，自称西尔维斯特二世。据说，热尔贝之所以能够登上教皇的宝座，也与他擅长数学不无关系。

热尔贝出生在法国中部的奥弗涅大区，年轻时旅居西班牙三年，曾在巴塞罗那以北六十公里的一座修道院学习毕达哥拉斯学派倡导的“四艺”。伊比利亚半岛因为被阿拉伯人侵占并统治，具有较高的数学水平，虽说那会儿从阿拉伯语到拉丁语的后翻译时代还没有正式开始，大量的古希腊著作尚没有被译成拉丁语，热尔贝却已掌握了相当多的数学和天文知识技能。不难推测，他应该是精通阿拉伯语的。

969 年，热尔贝陪同一位伯爵来到教廷所在地罗马，觐见了教皇约翰八世和神圣罗马帝国皇帝奥托一世，他因数学才能出色受到赏识。那时候教皇由皇帝任命，而教皇主持皇帝的加冕礼。热尔贝深得奥托一世的赏识，受聘为王子、未来的奥托二世的教师。后来有几任皇帝也很器重他，直到奥托三世任命热尔贝做了教皇（若不是奥托二世早逝，他可能会更早地成为教皇）。

据说，热尔贝从阿拉伯数学家花拉子密的著作中学会了印度-阿拉伯数码，并率先把它引入西班牙以外的欧洲。他还把东方人发明的算盘重新介绍到欧洲，用来帮助计算。此外，他还制造出钟，管风琴和某些天文仪器。在热尔贝撰写的一部几何学著作里，他还解决了这样一个数学问题：已知直角三角形的斜边和面积，求出它的两条直角边。

依照 12 世纪一位英国教士撰写的书里的描述，热尔贝在西班牙期间，曾去文化中心科尔多瓦和塞尔维亚学习数学，有一次他还偷走了一本书，被发现后把书藏在一座木桥下面躲过了搜查。1003 年，在一次反对皇帝的平民叛乱期间，热尔贝死于罗马城，他的遗体下葬在今天梵蒂冈北面约四公里处的圣约翰·拉特兰教堂。

布鲁内莱斯基

在漫长的中世纪里，欧洲和地中海沿岸一带的数学进展缓慢，有时甚至停滞不前甚或倒退。不过，意大利的艺术家们却善于利用数学，尤其是几何学的知识和技巧，取得了世人瞩目的成就，在艺术史上留下浓重的一笔。这其中，最主要的方法有透视原理及其应用。

如图所示，这是文艺复兴时期德国最重要的画家丢勒（Albrecht Dürer ，1471-1528）的木刻《为躺着的妇人画像》，它告诉我们画家是如何作画的。右边是画家本人，左边是他的模特。画家在中间放置了一块玻璃屏板，上面描好方格子，同时他的画布上也用铅笔描好方格子。模特透过玻璃屏板，会有一个轮廓呈现。例如，鼻子在点 A 上，膝盖在点 B 上，而大拇指又在点 C 上。画家只需依样画葫芦，便又轻松又准确地把人物描绘到平面上。


丢勒作品《为躺着的妇人作画》

这就是透视原理（perspective principal）,但它不是丢勒的首创和发现。丢勒出生于纽伦堡，小时候在作坊里学习绘画，后来又拜名师学艺。从 18 岁开始，丢勒到处旅行，先是去尼德兰和瑞士，后来两次长期旅居意大利，既丰富了生活阅历，又学到了包括意大利画家的透视原理在内的绘画技巧。事实上，早在丢勒出生前半个多世纪，意大利就有一位艺术家致力于透视法的探索和实践。

大约在 1413 年，布鲁内莱斯基（Filippo Brunelleschi ，1377-1446）展示了后来的艺术家广泛使用的透视技法的几何原理。布鲁内莱斯基出生在佛罗伦萨，他的父亲是公证人，小时候他接受父母的安排，学习文学和数学，希冀子承父业，做一名公仆。后来他依照自己的意愿改行学做金匠和雕刻师，然而由于某种原因，在一次有把握获胜的雕刻竞赛中他没有成功，一气之下又改行从事建筑设计，那时候文艺复兴运动已经开始了。

布鲁内莱斯基最重要的作品是佛罗伦萨主教堂（1420-1436），迄今它仍是各国游客必到之地，也使得他成为文艺复兴时期意大利最重要的建筑师。正是在他建筑生涯的初期，布鲁内莱斯基重新发现了原本为希腊人所知晓后来却在欧洲中世纪失传的透视原理。据说他用两块描绘佛罗伦萨街道与建筑的油画证明了他的发现，可惜这两块画板现已遗失。


佛罗伦萨主教堂

从布鲁内莱斯基用来举证的两块画板上的油画是街道和建筑这件事来看，他所重新发现的透视原理很可能是没影点。所谓没影点（vanishing point），是指三维空间里两条平行的直线其延长线在视觉印象里相交于无穷远点。举例来说，铁道线的两条铁轨向无限方向延伸时，在无穷远处是相交的。这一现象并不是孤立的，又如茶杯的杯沿通常是圆形的，但看起来却像是椭圆，无论我们站在近旁还是远处。


建筑师布鲁莱内斯基

可以说布鲁内莱斯基创立了科学绘画，他的学生和后辈中，乌切洛（Uceello ，1397-1475）、德拉·弗朗切斯卡（della Francesca ，1416-1492）、 马萨乔（Masaccio ，1401-1428？）都对透视学做出了重要贡献。马萨乔是第一个运用老师引入的透视法的画家，他的《纳税钱》比任何早期作品都更具有写实主义气息，同时表现出了距离感。16 世纪的艺术史家瓦萨里（Giorgio Vasari ，1511-1574）认为，马萨乔是第一个达到完全真实地描绘事物的艺术家。

从流传下来的作品来看，乌切洛并非最杰出的艺术家，他表现透视学方面的佳作随着时间的流逝被严重毁坏，已经无法复原了，不过仍然显示出景物的表面、线条和曲线的复杂性。他生前潜心于透视学这门“十分可爱的学问”之中，常常在妻子的催促下才上床睡觉。瓦萨里记载，“为了研究透视学中的没影点，他曾经通宵达旦。”

德拉·弗朗切斯卡使得透视学变得成熟，他对几何学抱有极大的热情，每个位置都事先安排得非常精确，以保持与其他图形的比例关系，同时使作品的整个部分一体化。他喜欢弯曲光滑的曲面和完整性，甚至对人物身体的每个部位及其服饰都运用了几何形式。他的作品《耶稣复活》和《鞭笞》是透视学的两幅佳作，同时也是艺术史上的珍品。

假如你有机会欣赏到古典油画，画中有家具或天花板的话，那一定是有平行线的。你将会发现，把每组相互平行的线各自朝一个方向延长，都会相交于同一点。如下图所示，黄色的平行线即是延长线，它们相交于同一点，那么这样的家具就符合透视原理，画成之后，我们可以放心地擦去黄线和交点，那也正是 vanish 这个动词的原意，即“消失”。

阿尔贝蒂

在布鲁内莱斯基 27 岁那年，另一位杰出的意大利建筑师阿尔贝蒂（Leone Alberti ，1404-1472）出生于热那亚，比同城出生的航海家克里斯托弗·哥伦布早了将近半个世纪。

阿尔贝蒂是佛罗伦萨一位银行家的私生子，自小他就跟着父亲学习数学，后曾在帕多瓦念书，再到博洛尼亚大学深造，获得法学博士学位。之后，他随一位红衣主教游历了法国、比利时和德国，1432 年定居罗马，担任教皇的秘书。

阿尔贝蒂多才多艺，他曾用拉丁文创作喜剧，在他的文艺著作《论绘画》中，首次引入了投影线和截景等概念，阐明了从三维物体到平面画布的透视原理。阿尔贝蒂也是文艺复兴时期最伟大的建筑理论家，著有十卷本的《论建筑》，此书用拉丁文写成，他认为建筑必须实用、经济、美观，尤以前两者为先决条件。在阿尔贝蒂看来，建筑物的美是客观存在的，美就是和谐和完整。


阿尔贝蒂的没影点

阿尔贝蒂还从人文主义出发，用人体的比例来解释古典柱式。他像哲学家一样提出他的思考，“我希望画家通晓全部自由艺术。但我首先希望他们通晓几何学。”“借助数学的工具帮助，自然界将显得更为迷人。”不过，《论建筑》要等到阿尔贝蒂身后 13 年才得以出版。五个多世纪过去了，他留下的建筑仍有佛罗伦萨的鲁奇拉府邸、新玛利亚教堂，里米尼的圣弗朗西斯科教堂等，曼图亚的圣安德烈亚教堂，其风格雄伟有力。

说一说阿尔贝蒂的建筑风格。在他之前，布鲁内莱斯基继承了古希腊的遗风，通过柱子或半柱奠定了古典建筑的风范，尤以佛罗伦萨主教堂和帕齐小教堂为代表。按照 20 世纪英国艺术史家贡布里希爵士的说法，阿尔贝蒂创造了一种个人私宅的建筑风格，其影响一直延续至今。他选择了偏平的壁柱和檐部，像网络一样覆盖在建筑的立面。这样一来，在保留古典柱式的同时，又不改变建筑的结构，从而赋予城市邸宅以现代的形式。

说到《论建筑》，公元前 1 世纪的罗马建筑师马可·维特鲁威（Marcus Vitruvius）也写过十卷本的《建筑学》，书中记载了古希腊数学家阿基米德测定希罗王王冠的故事。阿基米德在洗澡时发现浮力定律，同时也揭示了王冠的真假之谜。1487 年前后，达·芬奇也曾画过一幅著名的素描《维特鲁威人》，那是素描的教科书中不可获缺的。画家依据《建筑学》中的描述，努力绘出最完美比例的男子人体。


文艺复兴人阿尔贝蒂

阿尔贝蒂曾宣称，一幅画就是投射线的一个截景。他画过这样一幅素描，右边是（画家的）眼睛，左边是要画一个景物，犹如杭州西湖三潭印月的三座石塔（相传是北宋大诗人苏东坡疏浚西湖时的创意，现有的石塔系明代重建）。画家在他和景物之间放置了一块画好方格子的玻璃屏板，然后模仿景物在玻璃屏板上的投影或轮廓，在同样画有方格子的画布上描绘下来。

很明显，这种利用截景的透视方法在阿尔贝蒂时代已经很流行了。难得的是，阿尔贝蒂从中提出了这样一个数学问题，假如把玻璃屏板平行移动，那么得到的截景或轮廓与原先的十分相似，他问：两者之间的数学关系是是什么？这个问题比起欧几里得几何学中相似三角形的关系来，可是要复杂和困难许多，难怪那个时代全欧洲的艺术家和数学家都回答不出来。

没影点理论

透视不仅是一种表现深度的方式，也是构图的一种新方法。绘画因此开始呈现统一有序的场景，而不是多个场景的无序拼合。没影点的出现，为不同的场景的表现提供了很好的科学依据和方法。文艺复兴以来，透视法经过历代艺术家的探索，逐渐变得多种多样。透视按没影点的多少，大致可分为一点透视、二点透视、三点透视、四点透视和零点透视。

一点透视（one-point perspective）只包含一个消失在地平线的点。例如，通向远方的街道、走廊，无穷无尽延伸的铁轨，有些建筑物。这样的效果是，让画面直接面对观众。任何由与观察者的视线平行或垂直（如《红色的拖车》）的物体构成的画面都可以用一点透视来表现。其结果是，所有的平行线会在地平线的一个点（消失点）会聚。


一点透视

二点透视（two-point perspective）包含了两个消失在地平线上的点。例如，45 度角或任何斜角呈现的建筑物，分别沿两组斜平行线延伸在远方会聚。换句话说，一个没影点代表一组平行线，另一个没影点代表另一组平行线。或者可以这么说，房子的一堵墙会向一个没影点退去，另一堵墙则向相反的一个没影点退去。


两点透视

三点透视（three-point perspective）包含了三个没影点的画面。除了两个消失在地平线的以外，还有一个要么消失在天空，要么消失在地下。这个取决于观察者的位置。例如，一幢高楼，会有许多垂直的平行线。如果观察者是从地面上看，那么这组平行线会会聚在天空；而如果从建筑物顶端看下去，或从附近更高的建筑物去看，那这组平行线会会聚在地面甚或地面以下。

一点、 两点和三点透视取决于正在观看的场景的结构，这些透视也存在于笛卡尔坐标系中。而四点透视（four-point perspective）是两点透视法的曲线变种，它可以是 360 度全景，甚至超过 360 度来描绘不可能的场景，这种情况可以说是虫眼（worm's-eye）或鸟瞰图（bird's-eye）。通过插入一组不同于三个坐标轴的任何一个的平行线，就能创建一个新的没影点，那样的话，四点透视就出现了。同样，也存在五点透视和六点透视。

没影区域（vanishing area）。有些复杂的场景需要多种没影点，那种情况下既有正面垂直的平行线组，相交于主没影点（principal vanishing point），又有两旁 45 度角的两组平行线，分别相交于左右的两个对角没影点（diagonal vanishing point）。进一步，主没影点和两个对角没影点三点位于同一条直线上，那条直线被称为水平线。

零点透视（zero-point perspective）,如果观察者看不到任何平行线，即看到的是非线性场景，那就是零点透视，那样的话没影点就不存在了。最典型的例子是那些自然风景，例如山脉，但它仍然是可以绘制的，虽说深度感不容易表现。另一方面，平行投影（例如仰角）是可以通过从很远的地方观看所涉及的物体来近似。那样一来，任何给定的小对象在所述场景中可因此模仿平行投影的轮廓。


《红色的拖车》，作者摄于西班牙。图中拖车右侧上沿和下沿延长线相交于远处的那棵树，证明没影点在侧面也存在。

相比之下，中国画不是遵循这么严格的透视规律的，它经常是类似于把多镜头分割再组合的方式，比如北宋画家张择端的《清明上河图》就是由无数小镜头组成的。此外，中国古代画家们还采取了诸如“远山即高”的方法，不知这是否就是有的西方艺术史家所指的“斜透视”？

而就西方人的油画来说，任何规律也都不是一成不变的。20 世纪西班牙画家毕加索的立体主义作品就是把一个物体的正面反面，看得见和看不见的全都表现在一个二维的平面上，可以说他抛弃了传统的透视学，建立了自己的新规则。与毕加索同时代的法国画家马蒂斯是野兽派的代表人物，在他的一些作品里立体的轮廓消失了，垂直的墙壁与水平的桌面可以融为一体。

比毕加索稍晚的比利时画家马格里特（Rene Magritte ，1898-1967）是一位超现实主义者，他的作品常常赋予我们平常熟悉的物体一种崭新的寓意，或者将不相干的事物扭结在一起，给人以一种荒诞、幽默的感觉和启示。在《欧几里得漫步处》中，右边的街道垂直于画面，越往远处两端越来越接近，最后变成了一个点，长方形变成了等腰三角形。这是没影点的应用。而左侧水塔的塔尖是个圆锥，依照初等几何学的三视图原理，圆锥的主视图和侧视图均为等腰三角形。这两个三角形几乎全等，诱发了观众的好奇心和想象力。


马格里特作品《欧几里德漫步处》（1955）

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透视的几何学

文艺复兴时期的画家们之所以对数学有如此广泛的兴趣，原因应该是多方面的。首先，绘画的问题是把三维空间的人物或客观事物表现在二维的平面上，无论如何这都与几何学有关。艺术家要创作逼真的作品，除了颜色、形态和意图，他或她面对的对象本身是有一定空间的几何形体。具体来说，画家要考虑理想的比例，描绘它们位于空间中的位置的相互关系，这就需要用到欧氏几何。

其次，文艺复兴时期的画家们都受到了希腊哲学的影响，他们熟悉并满脑子充满了这样的信念：万物皆数；数学是真实的现实世界的本质，宇宙是有秩序的，并能按照几何方式明确地理性化，终极真理的表达方式就是数学的形式。因此，艺术家像希腊哲学家一样，认为要透过现象认识本质，需要在画布上真实地展示题材的现实性，他们最后面临和解决的问题必定归结为一定的数学内容。

再次，中世纪晚期和文艺复兴时期的艺术家，往往也是那个时代的建筑师和工程师，因此必然需要和爱好数学。那时候的商人、王侯和教会纷纷把建筑问题交给艺术家，让他们设计建造教堂、修道院、皇宫、医院、桥梁、水闸、堡垒、运河、城墙、战争器械，等等。在达·芬奇的笔记本里，可以找到大量的诸如此类的设计图纸。因此，文艺复兴时期的艺术家既是博学的纯粹数学家，也是优秀的应用数学家。

值得一提的是，“文艺复兴”的意大利文 Rinascimento 是由 ri（重新）和 nascere（出生）构成的，意为“再生”、“复活”。经过漫长的中世纪黑暗时代之后，意大利各个城邦崛起，市民和世俗知识分子（非经院哲学的教士）越来越厌恶天主教的神权和禁欲主义，可是由于本身没有成熟的文化体系可以抗衡，于是借助复兴古希腊和古罗马的文化形式来表达自己的诉求。它不仅仅是古典的复兴，而是资产阶级的新文化运动。在这场主要由艺术来呈现的复兴运动中，数学起到了非常重要的作用，以至于美国数学史家莫里斯·克莱因称文艺复兴是“数学精神的复兴”。

然而，终要有特殊的数学问题作为中介，让那些有天赋的艺术家们进行探讨和研究，发挥他们的才智。这个问题非透视莫属，即如何在二维的画布上展现现实世界中的三维景物？为此，经过几代艺术家的共同努力，他们创建了一整套全新的数学透视理论体系，从而建立起一种崭新的绘画风格，并把古典绘画带到一个新的难以企及的高度。

在西方绘画史上，各种透视体系大致可以分成两大类，即概念体系和光学体系。光学体系即前文阐释的透视原理和没影点理论，而概念体系是指按照某种观念或法则去描绘人物或物体，与实际的景物本身几乎没有什么关系。例如，古埃及的绘画，人物的大小经常依据他们在政治或宗教阶层中的地位而定。在这些作品中，法老的尺寸是最大的，其次是他的妻子，大臣就更小了，但仍比仆人要大。

在东方，例如中国画和日本画，也基本上是遵从概念体系进行创作的，也即没有引入透视的原理或数学的方法。而在现代绘画作品中，概念体系也经常出现，有的甚至成为表达的方式。超现实主义画家马格利特认为: 一个事物恰恰是被它经常出现的样子所遮蔽。他采取的方法之一是: 改变对象的尺度、位置或质地, 创造出一种不协调。下面，我们举几个他的作品为例。

在《收听室》中，一个苹果占据了整个房间。在《大餐盘》中，一个巨大的餐盘出现在海边。《单人房间》更离奇, 艺术家把衣橱、床、头梳、酒杯、铅笔、胡子刷等毫无比例地堆放在一起, 而墙壁则是蓝天白云。2018 年秋天，作者在旧金山街头看到，城市旅游大巴上画着《单人房间》。而在写于 1988 年的拙作《村姑在有篷盖的拖拉机里远去》中, 篷盖、麦田、围巾、脚丫在瞬间改变了尺度, 犹如电影里的蒙太奇镜头。


旧金山旅游巴士，印上马格利特的《单人房间》。作者摄

村姑在有篷盖的拖拉机里远去

我在乡村大路上行走
一辆拖拉机从身后驶过
我悠然回眸的瞬间
与村姑的目光遽然相遇

在迅即逝去的轰鸣声中
矩形的篷盖蓦然变大
它将路边的麦田挤缩到
我无限扩张的视域一隅

而她的围巾飘扬如一面旗帜
她那硕大无朋的脚丫
从米罗的画笔下不断生长
一直到我伸手可触

这首诗末节也是对第一章所介绍的希腊艺术“前缩法”的一个注记或说明。只不过在写作时，作者对此方法并未知晓。

虽说古希腊和古罗马的绘画主要遵从光学体系。但是，天主教的神秘主义却使得艺术家又回到了概念透视体系，因为他们满足于描绘象征性的内容。换句话说，他们的绘画主题和背景倾向于表现宗教题材。因此，绘画表现的是宗教情感，而不是现实生活中的人和世界。这种风格在中世纪十分流行，持续了一千多年。特点是画面呆板生硬、毫无生气，背景通常总是金黄色的，为了强调宗教主题而与现实世界没有关联，更谈不上有任何空间关系。

文艺复兴的典型特点是，使得艺术家们朝向写实主义方向前进，在这个过程中数学开始进入艺术领域，引入了第三维，这只能通过光学系统的表达才能得到。从此以后，艺术家们就可以在绘画中处理空间、体积、距离、质量等的视觉印象。与此同时，现实中活脱脱的人成为宗教题材的主题，按照实际构图的画面富有生机。终于在 13 世纪，意大利诞生了近代绘画之父乔托。“从此以后，艺术史就成为了艺术家的历史。”

在我们介绍达·芬奇和丢勒出场以前，先来提及一位稍微年长的画家，那就是波提切利（Botticelli ，1445-1510）,他因为《维纳斯的诞生》和《春》这两幅大型作品闻名于世。虽然不合比例的夸张说明写实主义并非目的，仍然很好地利用了精确的透视法。作者于上个世纪末造访佛罗伦萨时，有幸在乌菲奇美术馆欣赏了这两幅作品，后者的每一个次要人物都比前者的出色，唯独维纳斯略为逊色，这几乎毁了整幅作品。

达·芬奇

1452 年 4 月 15 日，正当阿尔贝蒂完成他的力作《论建筑》，达·芬奇（Leonardo Da Vinci ，1452-1519）出生在佛罗伦萨附近的小镇芬奇。但那是儒略历，即罗马独裁官尤利乌斯·恺撒在公元前 45 年元日颁布实施的日历，儒略是尤利乌斯的另一种翻译。1582 年，教皇格里高利十三世依据医生兼哲学家里利乌斯（Lilius）的建议，开始执行如今我们使用的公历。

那样的话换算过来，达·芬奇的生日刚好是公历 1452 年 4 月 23 日，这正是是英国大文豪莎士比亚的疑似生日，也是莎士比亚与西班牙大文豪塞万堤斯共同的忌日。1995 年，联合国教科文组织将每年的 4 月 23 日确定为世界图书和版权日，简称为世界读书日。

与阿尔贝蒂一样，达·芬奇也是个私生子，他的父亲是一位公证人和地主，母亲是个农妇。父亲结了三四次婚以后，才有了正式的孩子，那时达·芬奇已经 24 岁了。他自小就在父亲家中长大，虽然被视为嫡出，仍然受到社会的歧视，他只接受了初等的教育，尚没有机会学习拉丁语。15 岁前后，他被送到佛罗伦萨的一个私人工作室做学徒，学习绘画、雕刻和机械工艺。

30 岁那年，达·芬奇去了米兰，为大公效力。这是他人生迈出的重要一步，他在米兰一共待了 17 年。达·芬奇认真阅读了前辈艺术家写的书籍和文章，包括阿尔贝蒂的《论建筑》，德拉·弗朗西斯卡的《绘画透视学》。他还自学了高等数学和算术，并对几何学做了一番研究。他那著名的素描《维特鲁威人》就是在米兰完成的，被认为是比例和黄金分割比的典范。


达·芬奇素描《维特鲁威人》（1510）

在这样的环境下，达·芬奇开始萌生“绘画科学”的概念，并希冀撰写自己的艺术理论。他要观察用肉眼可以看见的世界中的一切事物，辨认其结构和形式，并按照其本来面目用图像手段加以描绘。也是在米兰期间，他在圣玛利亚慈悲教堂里，完成了壁画《最后的晚餐》（1495-1497）。上个世纪末，我有幸在米兰欣赏了这幅名画，它位于破旧不堪的多明我修道院的餐厅里，这幅画却让米兰生辉。

记忆里修道院的门口排着长队，为了看这一幅壁画，门票比一整座巴黎卢浮宫还昂贵，后者收藏了达·芬奇的另一幅名画《蒙娜·丽萨》。这是一座长方形的餐厅，《最后的晚餐》差不多占满了较窄的那面墙，画中 12 个门徒分成三组，每组四人。

据说此画描绘了基督说完“你们中间有人出卖了我”这句话时众门徒的表情，其中犹大是唯一脸部阴暗的一位。

达·芬奇在米兰结交的一个好朋友是波提切利的同龄人、数学家帕西奥利（Luca Pacioli ，1445-1517）。帕西奥利比达·芬奇大七岁，出生在佛罗伦萨东南 80 公里处的一座小镇，是德拉·弗朗切斯卡的同乡。后者比帕西奥利年长 30 岁，艺术史家推测，帕西奥利曾向这位同乡学习几何学和透视原理。不仅如此，帕西奥利所作的圣方济各画像，疑似是以年轻的帕西奥利为模特。

帕西奥利 25 岁那年来到罗马，在阿尔贝蒂的工作室学习。后来，他旅行了不少地方，讲授数学和军事科学。直到有一年，他被与他同龄的米兰大公卢多维科·斯福尔扎（Ludovico Sforza ，1452-1508）雇佣。这位新雇主地位显赫，极力庇护艺术家和科学家，甚至佛罗伦萨的梅第奇家族也向其示好，于 1482 年派遣精通音乐的达·芬奇携带竖琴作为礼物前来觐见，结果被大公留了下来。不少研究者认为，蒙娜丽莎是他的侄女。帕西奥利到来时，达·芬奇正在为大公家族的圣玛丽慈悲修道院绘制壁画《最后的晚餐》。

1494 年，帕西奥利发表了《论算术几何的比例及比例谐和》，后来又有《神圣比例论》。达·芬奇向帕西奥利学习几何学和透视原理，他也为他的朋友画了许多人体插图。同样，帕西奥利也是达·芬奇的欣赏者。达·芬奇甚至在《绘画专论》里这样写道，“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家。”他坚持认为，绘画的目的是再现世界，而绘画的价值在于精确地再现。


达·芬奇自画像（1516-1518）

达·芬奇认为，绘画是一门科学，它像所有其他科学一样，以数学为基础，“任何人类的探究活动都不能称为科学，除非这种活动可以通过数学表达出来或利用数学证明来开通自己的道路。”卡尔·马克思后来也表达过类似的意思，但无疑达·芬奇是最早阐明这一点的，他鄙视那些轻视理论而声称仅仅依靠实践就可以艺术创作的人，而将透视学视作绘画的“舵轮与准绳”。

1500 年，在被法国人攻陷三个月以后，达·芬奇在好友帕西奥利陪同下离开了米兰城。他们在曼图亚和威尼斯稍作停留，然后返回了佛罗伦萨。数学研究似乎占据了达·芬奇的多数时间，他还研究解剖学、物理学和化学，绘画被他暂时丢开了。达·芬奇曾给出毕达哥拉斯定理一个新的证明，但并不那样简洁。有时，他也有深刻的观察，例如，他曾在笔记本上偷偷写到，“太阳是不动的！”

大约三年以后，达·芬奇又专心于画画，他在故乡缓慢地完成了杰作《蒙娜丽莎》（1503-1517）。至于原型恐怕已是千古之谜，有说是米兰大公的女儿，也有说是佛罗伦萨一位官员的第三任太太。之后他一直把此画带在身边，直到在暮年接到法兰西国王弗兰西斯一世的邀请，成为国王的“首席画师、建筑师和机械师”。他在法国卢瓦尔河畔的昂布瓦斯度过了生命最后的三年，《蒙娜丽莎》一直挂在他的卧室里。如今，她已成为巴黎卢浮尔宫的镇馆之宝。

达·芬奇在数学方面富有远见卓识，可谓是柏拉图主义的忠实信徒，但他的数学研究尚停留在业余水平，尽管爱因斯坦对他的多才多艺给予高度评价。英国科学史家李约瑟在评价中国古代科学水平时，声称，“可以肯定的是，中国（古代）科学所达到的境界是达·芬奇式的，而不是伽利略式的。”

值得一提的是，达·芬奇的个人生活一直是个谜。从 16 世纪开始人们就有各种臆测，20 世纪以来，随着佛洛伊德学说的兴起，有关他是同性恋的推测不时浮现。事实上，陪同达·芬奇暮年去法国度过余生的是一位出身高贵的年轻伯爵梅尔齐（Melzi）。梅尔齐是达·芬奇最喜欢的学生，在艺术家去世以后继承了他的艺术和科学作品、手稿和收藏，并管理了他的遗产。

1519 年 5 月 2 日，67 岁的达·芬奇在法国逝世，死因可能是中风，临终之际请来一位牧师为他忏悔。按照瓦萨里的描述，画家死后，国王把他的头抱在自己的怀里。按照达·芬奇的意愿，60 个拿着锥子的乞丐列队跟随他的棺材。除了梅尔齐，画家还把他的葡萄园分赠给另一个学生和他的仆人。他的兄弟们得到了土地，侍女得到了毛皮大衣。同年 8 月 12 日，达·芬奇的遗体被安葬在安布瓦兹酒庄的圣佛罗伦萨学院教堂。

丢勒

在达·芬奇之后，意大利的其他画家和建筑师也对数学有着浓郁的兴趣，包括与达·芬奇合称为“文艺复兴绘画三杰”的米开朗琪罗和拉斐尔。他们力图把数学应用于艺术，除了透视法，还利用高超而惊人的技巧掌握、发展了古希腊人创立的前缩法。在这些后辈艺术家中，将数学与艺术结合得最为出色的当数前文已提及的德国画家丢勒。

丢勒的故乡纽伦堡在德国的巴伐利亚，他的父亲是个成功的首饰匠，出生在匈牙利东南靠近罗马尼亚边境的久洛（Gyula）附近，28 岁那年移居纽伦堡。他的姓氏 Ajtos 原本对应于德语里的 Turer ，而按照纽伦堡人的发音习惯，才改为 Durer 。起初，家人也是想把他培养成家族的继承人，但他在作坊里学会了绘画，并在 13 岁时照着镜子逼真地画出自己的肖像画。

丢勒请求父亲让自己学做画家，结果父亲答应了，他的一个兄弟继承了家业。父亲送丢勒进了当地一家画室，三年学徒期间，他学到了各种绘画技巧，尤其是木刻插图和铜板技巧，之前他的同胞谷登堡发明了活字印刷。出师以后，丢勒走出画室，漫游了四年，沿着莱茵河到达法兰克福、科隆和巴塞尔，并远至尼德兰（荷兰）。23 岁那年，他与故乡的一位音乐家的女儿阿格列萨结了婚，那年他曾为新娘画过一幅素描。

丢勒第一件伟大的作品是《启示录》，这是由 14 幅版画组成的杰作。《启示录》是《圣经》里最后一篇充满恐怖奇想的经文，告诫信徒若不笃信基督，将会遭受惩罚。其中最有代表性的一幅是《四骑士》，骑士们或拉弓射箭或举剑挥砍，举起的空天平象征饥饿，而枯瘦的老人代表死亡，胯下的战马正无情地践踏倒下的人群。这是当时德国真实生活的反映，正是在这种历史气候下，16 世纪初马丁·路德开始了宗教改革。

之后又有 12 年时间，丢勒携家侨居国外，期间两次在意大利长住。从意大利画家那里，他学到了透视法并进行了一番研究，画出了多幅木刻来说明如何利用截景绘画。除了上一节介绍的《为躺着的妇人画像》，还有《为坐着的男子画像》，以及《画罐》、《画琵琶》等。后来，他把意大利人的发明带回到德国，使之流行于欧洲的北方。

为此，丢勒写作了一本广为流传的小册子《直尺圆规测量法》。这本书是关于几何学的，但也谈到了透视法。他认为，创作一幅画的透视基础不是信手涂画，而应该依据数学原理构图。在丢勒的影响下，18世纪初的英国数学家泰勒（以发明泰勒公式和泰勒级数闻名）、法国数学家兰伯特（证明圆周率是无理数）都撰写过透视学的权威著作。

1505 年，丢勒再次来到意大利，这次他不仅为了学习取经，也为了他的作品被人抄袭讨个公道。74 岁高龄的威尼斯画派领袖贝里尼（提香的老师）接见了他，询问比自己年轻 40 岁的德国才俊能否给一支他用过的画笔。在那个年代艺术家还带有手工特技和师徒传艺的风俗，画家自制的绘画工具和材料常常带有保密的性质，就像达芬奇用左手反写“反字”的笔记本一样。

原来，贝里尼（Giovanni Bellini， 1430—1516）见到丢勒画的人物须发特别纤细流畅，故而认为他一定有特殊的画笔。没想到丢勒拿出一大把很普通的画笔，让老画家随笔挑，并当场画出“一缕柔软纤细波浪式的女性秀发”。事实上，丢勒本人的自画像里也有卷曲优雅的头发。目睹此情此景，贝里尼大为赞叹，出高价购买丢勒的画作，这等于帮丢勒做了很大的宣传广告。


丢勒自画像（1510）

丢勒可能是文艺复兴时期所有艺术家中数学造诣最深的人，在《圆规直尺测量法》一书中，他谈到了空间曲线及其在平面上的投影，还介绍了外摆线，即一个圆滚动时圆周上一点的轨迹。更有甚者，丢勒考虑到了曲线或人影在两个或三个相互垂直的平面上的正交投影，这个想法极其前卫，直到 18 世纪才由法国数学家蒙日发展出一门数学分支，叫画法几何，蒙日并以此在数学史上奠定地位。


丢勒作品《忧郁》（1514）

1514 年 5 月 17 日，丢勒深爱的母亲病故，他陷入一种悲哀。当年晚些时候，丢勒创作了铜版画《忧郁》寄托哀思，画面前方有个左手扶额作沉思状的坐着的青年女子，背景里有球、多面体等几何图形和一束光芒，右边房屋的窗子实为一个四阶幻方，即各行、各列和两条对角线元素之和均为 34 ，见下图

     16  3   2   13
     5   10  11  8
     9   6    7   12
     4   15  14  1

事实上，此幻方 9 个 2 阶小矩形中，有 5 个（四个角和中央）的元素之和也为 34 ；还有 4 顶点和任意 3 阶矩形或任意斜矩形的顶点之和也为 34 。幻方的出现无疑加重了画面的抑郁气氛和神秘感，也帮助它成为一幅世界名画。更有意思的是，幻方的最后一行中间两个数恰好组成了画作的完成年份，即 1514（还有研究者发现 5 和 17 在其中的隐秘关系）。由此可见，丢勒对如何构筑幻方已经游刃有余。

虽说在中国，13 世纪的南宋数学家杨辉的幻方更早出现，印度克久拉霍（Khajrāho ，10-11 世纪月亮王朝的故都）耆那教寺庙墙上的幻方更为完美，但丢勒因为同时也是著名的画家，他的幻方也最为著名。丢勒以其观察的精微和构思的复杂，将他丰富的思维与其热烈的理想结合在一起，产生了一种独特的效果。晚年的丢勒致力于艺术理论和科学著作的写作，包括绘画技巧、人体比例和建筑工程，他并亲自为这些书制作插图。

丢勒在书中写到，“出自一切作品的东西，要数漂亮的人体最能使我们感到愉快，所以我就从人体比例写起。”他还曾经这样说过：“求知，以及通过求知去理解一切事物的本质，这是一种天赋……而真正的艺术，是包含在自然之中的，谁能发掘它，谁就掌握它。”

本文载于“赛先生”公众号，节选自《数学与艺术》（商务印书馆，2024），“数学大院”经授权编辑整理发布。

蔡天新 数学大院 2024 年 12 月 23 日 18:03 北京