圆周率 π 的美丽表达

luyuanhong

圆周率 π 的美丽表达

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 11 月 12 日 18:44 陕西

下面开始我们今天的主题，关于圆周率 π 总会有一些美丽又令人惊讶的表达式。比方说下面这个：



这样的风格颇有拉马努金的味道，不过与他不同的是，我们在这期中，还是给这样一个美丽的表达式一个证明。证明的第一步建立一个重要的三角恒等式，在第二步中使用它来取极限并将结果应用于 π 。

证明一个重要的三角恒等式

我们对 π 的表达式可以通过以下三角恒等式推导出来：



这里的 n 是正整数且 α 不是 π 的整数倍（一旦是整数倍的话，右边的表达式分母为 0 了）。为了证明这个三角恒等式，我们要借助数学归纳法，首先证明某个结果对 n = 1 成立（归纳法开始），然后如果你能证明该结果对 n = k 成立时，该结果对 n = k + 1 也成立（归纳法步骤）。我们就可以完成证明。

为了证明归纳法的开始，我们使用标准三角恒等式 sin(θ+φ) = sinθcosφ + cosθsinφ 。如果 θ = φ = α/2，则有 sinα = 2sin(α/2)cos(α/2)。将两边除以 cos(α/2) 可得出 n = 1 的结果。

现在我们假设结果对 n = k 成立。我们可以使用相同的标准三角恒等式来推导出 n = k + 1 的结果，如下所示：



因此对于所有正整数 n 来说结果都是正确的。

用它来证明 π 的漂亮表达式

现在我们观察到，当角度 θ 趋近于零时，(sinθ)/θ 的值趋近于 1 。由此，通过一些简单的操作，我们可以得出



因此，将极限应用到上一节中的三角恒等式的两边，我们可以得出以下结论：



现在我们将使用另一个众所周知的三角恒等式，即 cos(θ+φ) = cosθcosφ - sinθsinφ 。同样，θ = φ = α/2 ，我们可以说 cosα = cos^2(α/2)-sin^2(α/2) = 2cos^2(α/2)-1 。重新排列，我们得到：



因此，我们可以将之前的 α 表达式重写为：



现在取 α = π/2，我们知道 sin(π/2) = 1 且 cos(π/4) = √(1/2) ，因此：



并将两边乘以 2（或将两边除以 1/2），我们得到最终结果。在这篇文章中，我们从一个优美的三角恒等式出发，逐步构建了一个令人惊叹的关于圆周率 π 的表达式，并通过严谨的数学证明完整推导了其背后的逻辑。

像这样的表达式总能唤起我们对数学美的深深敬意。很多人说：“一个公式如果不能表达美丽，那它就没有意义。”当然我个人是不认同这样的观点的，就如我们经历的人生一样，丑陋和琐碎才是主旋律，最后可能还要请个假，最近事情很多，更新会很不定期，这点我很抱歉。好了今天就到这儿，我们下期见。



围城里的猫