微积分终极公式——外微分

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微积分终极公式——外微分

原创 小万陪你学数学 数理怪咖 2024 年 11 月 12 日 22:58 江苏

引言：本期介绍的公式被誉为经典微积分学的终点，也是古典微分几何学的代表性成果之一。小编准备用图文并茂的方式，为读者介绍这个简洁、优雅、深刻的“美妙公式”。“我们搞微分几何的人，碰到方程就 d（滴）一下”，南开大学陈省身数学研究所的唐梓洲教授这样说道。微分形式与外微分的概念是“微分几何之父”陈省身先生的老师嘉当（Cartan）通过参考格拉斯曼外代数理论而引入的。陈省身先生把“外微分”技术发扬到了炉火纯青的地步，是这方面的专家。靠“滴一下”这手绝活，加上罕见的数学直觉，陈老滴出了高斯-博内-陈定理，滴出了陈示性类，滴出了陈-西蒙斯理论，也滴出了陈老一代几何学大师的地位。



不难发现，撇开具体的积分类型（定积分、重积分、曲线积分、曲面积分）来看，这四个公式都展现了一个积分区域边界上的某种积分与积分区域内部的某种积分之间的联系。而且这四个公式看上去都有着很好的对称性。等号左端被积表达式中的每一项含有的微分个数都比等号右端要多 1 个（见上面 4 个公式中标红的部分）。由此我们就有了猜想：是否可以用一种统一的写法，将这四个公式写成统一的形式，以此来反映它们的本质？这就是下面要解决的问题。

受到牛顿-莱布尼茨公式的启发，我们希望用一种类似导数或微分的运算（就是下面要介绍的“外微分”），将格林公式、高斯公式与斯托克斯公式等号右端的被积表达式变成等号左端的被积表达式，从而更深刻地去揭示”原函数“与”导函数“的关系。

首先，我们需要介绍曲面“维数”的概念。





相信大家都很熟悉向量的知识吧。我们给向量定义了很多运算，其中一个非常重要的运算是向量积。向量积是与格拉斯曼外代数最为类似的代数运算，我们先来回顾向量积的定义和它的一些基本性质。熟悉的读者可以直接看下面的 Definition2 。





参考文献：《数学分析教程》（下） 常庚哲、史济怀

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