Zermelo-Fraenkel 集合论到底是个什么东西

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Zermelo-Fraenkel 集合论到底是个什么东西

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 10 月 23 日 18:46 陕西

数学人偶尔可能会听到什么 ZF 集合论，其实它的全名叫 Zermelo-Fraenkel 集合论，在这期推送中我们将了解它为何必要以及它是什么。作为示例，我们将了解如何使用它来定义自然数集。

朴素集合论

直到 20 世纪初，数学集合都是根据我们现在所说的朴素集合论来定义的（当然，当时它不叫这个名字，因为没有人意识到它的问题）。粗略地说，朴素集合论认为集合可以包含任何具有特定属性的事物组，并且该属性可以用自然语言来描述。

更正式地讲，我们说对于任何为真或为假的性质 P(x) ，我们都可以构造一个集合，其中包含所有使 P(x) 为真的 x 值。这被称为无限制理解公理，它只是一种正式的说法，即可以从任何性质 P 构造一个集合。

例如，所有小于 4 的自然数的集合是集合 {1, 2, 3}。当然对集合来说元素也不一定是数字。我们可以定义一个英语中所有元音的集合，即 {A, E, I, O, U} 。

集合元素可以是无限的，例如，自然数集 N 是无限的。偶数集是 {0, 2, 4, 6, …}（我们将 0 算作自然数，这在很大程度上是一个见仁见智的问题，但我们将空集也算作一个集合，因此将 0 算作一个自然数很有用）。该集合是无限的，但我们可以轻松计算出第 n 个元素，它就是 2n 。另一个无限集是素数集，{2，3，5，7, … }。这一切看起来都非常合理，直到裂缝开始出现。

罗素悖论

朴素集合论的问题在于它会导致悖论。其中最著名的是伯特兰·罗素（Bertrand Russel）于 1901 年发表的罗素悖论。

由于集合可以包含任何内容，因此可以定义一个包含其他集合的集合，并且可以以任何我们希望的方式指定该集合。例如，我们知道某些集合是无限大的，因此我们可以定义一个包含所有无限大集合的集合 I 。这将包括（除其他外）所有自然数的集合、偶数自然数的集合、可被 3 整除的自然数的集合等等。

有无数个可以被某个数 n 整除的自然数集，因此集合 I 的大小是无限的。所以 I 是它自己的元素。这在朴素集合论中完全没问题，没有理由说一个集合不能是它自己的元素。

所以现在我们知道有些集合，比如 I 是它们自身的元素。当然，有些其他集合，比如自然数集合 N ，显然不是它们自身的元素（ N 只包含数字，不包含集合，所以它不能包含自身）。

因此，我们可以定义集合的另一个性质：“不包含自身”。这是集合的一个有效性质 —— 我们将其称为属性 C(x) 。对于某些不包含自身的集合（例如 N ），该性质为真。而对于包含自身的其他集合（例如 I ），该性质为假。因此，根据朴素集合论，我们可以定义一个由所有不包含自身的集合组成的集合 R 。

但这里有一个问题。如果 R 不包含自身，那么 C(R) 为真，因此它必须包含自身。但如果 R 包含自身，那么 C(R) 为假，因此它不能包含自身。这是一个悖论。而且它不是一个可以忽略的琐碎悖论。这是朴素集合论的核心悖论，没有逻辑方法可以解决它。

康托尔悖论

另一个悖论涉及全集 U ，即所有可能集合的集合。为了理解这个悖论，我们需要定义幂集。集合 X 的幂集 Y 是 X 的所有子集（包括空集）的集合。例如，集合 {1, 2, 3} 的幂集将是：{ { }、{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3} }

幂集有两个重要性质：

● 其所有元素都是集合。

● 它的元素总是比原始集合多。

第二个性质产生的原因是，幂集包含原始集合中每个元素的一个元素（原始集合中的值 1、2 和 3 分别在幂集中产生元素 {1}、{2}、{3}），外加一个空集，并且通常还有一大堆额外的子集。

这里，当我们取全集 U 的幂集 pU 时，出现了一个悖论。

我们知道 pU 一定大于 U ，因为幂集总是大于原集。所以如果 pU 更大，它一定比 U 包含更多的集合。

但 U 包含所有集合，那么 P 怎么可能包含比U更多的集合呢？这又是朴素集合论中无法解决的悖论。

解决悖论

这些问题的根源在于无限制理解的理念。我们无法以任何方式定义集合，因为使用自然语言描述集合的某些方式在数学上是没有意义的。特别是，我们不能总是根据集合本身来定义集合。

策梅洛-弗兰克尔（ZF）集合论基于一组避免此问题的公理。它们本质上只允许我们根据已经存在的集合创建新集合，从而避免任何自指悖论。该方案比这更进一步。它表示集合只能包含其他集合。

该理论通常包含一个额外的公理，即选择公理，然后被描述为 ZFC 。我们不会在这里讨论选择公理，ZF 系统包含九条公理。其中包括几条基本集合规则，以及一些说明如何从现有集合构造新集合的公理，后面还有一些不太直接的额外公理。

一些基本规则

由于我们的方法是仅根据其他集合来定义集合，那么我们如何开始呢？好吧，我们必须定义至少一个刚存在的集合。但是集合只能由其他集合构成，因此在我们定义第一个集合之前，需要一个已经存在的集合。

幸运的是，有这样一个集合。空集，即没有元素的集合。

空集存在有时被称为 ZF 公理 0 。这表明可以假设空集存在。这是一个相当合理的假设。空集有时写为 { } ，但我们将使用另一个常用符号（此符号不是希腊字母，而是空符号，Unicode 值 U+2205）。奇怪的是，我们可以从这个简单的起点定义我们需要的每个集合。

范围公理可用于确定两个集合是否相同。它指出，当且仅当 A 的每个元素都是 B 的元素，且 B 的每个元素都是 A 的元素时，两个集合 A 和 B 相同。

另一种表述方式是说集合由其元素唯一定义。这与我们一直使用的规则相同——如果集合包含完全相同的元素，则集合相等——只是表达得更正式。

构造集规则

从其他集合创建集合有几条规则。这些规则都非常简单和明显，就像公理一样。配对公理告诉我们，如果 A 和 B 是集合，那么 { A , B } 也是一个集合。也就是说，如果我们有两个集合，我们可以创建一个包含两个元素的新集合，这两个元素就是两个原始集合。例如，我们可以将两个集合 {1, 2} 和 {5, 6} 组合起来，创建集合 {{1, 2}, {5, 6}} 。

一个特殊情况是，如果 A 是一个集合，那么 { A , A } 也是一个集合。我们通常看不到有重复元素的集合。这是因为范围公理允许我们删除重复的元素。两个集合 { A , A } 和 { A } 是同一个集合，因为其中一个集合的每个元素也是另一个集合的元素。所以我们通常只写 { A }。这给了我们配对公理的第二个有用的结果：如果 A 是一个集合，那么 { A } 也是一个集合。

并集公理告诉我们，如果 A 和 B 是集合，那么 A 和 B 的并集也是一个集合。也就是说，如果我们有两个集合，我们可以用其中任何一个集合中的所有元素创建一个新集合。例如，我们可以将两个集合 {1, 2} 和 {5, 6} 组合起来创建一个新集合 {1, 2, 5, 6}。这与配对示例不同，因为新集合有 4 个元素，而不是 2 个。

替换公理模式告诉我们，如果 A 是一个集合，并且我们对其每个成员应用某个函数，那么修改后的成员也将形成一个集合。例如，如果我们取集合 {1, 2, 3} 并应用函数乘以 4，我们将得到一个新集合 {4, 8, 12} 。

限制理解公理指出，如果 A 是一个集合，那么我们可以使用任何我们喜欢的规则来构造 A 的一个子集。例如，如果我们有自然数集合 N = {1, 2, 3, … } ，我们可以应用规则：其元素为 2 的倍数来构造偶数集合 {2, 4, 6，… }。此规则只是收集所有偶数并丢弃所有奇数。

这与无限制理解规则形成对比，无限制理解规则允许我们利用任何规则从无到有创建一个集合。限制理解只允许我们通过将规则应用于已经存在的集合来构建集合。幂集公理告诉我们，如果 A 是一个集合，那么 A 的幂集也是一个集合。我们之前给出了 {1, 2, 3} 的幂集的例子。





当然，这些集合对于大数字来说会变得非常笨重，但这并不重要。例如，我们总是将集合 100 称为 100 。真正的集合又长又乏味，但我们永远不需要把它写下来。我们只需要知道它存在并且能够在原则上创建它。



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