如何通俗理解矩阵行列式

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如何通俗理解矩阵行列式

原创 金朝老师来上课 数据分析学习与实践 2024 年 11 月 12 日 15:59 美国

行列式的几何直观理解可能会改变你对行列式的看法



回想我的大学时代，线性代数是我特别着迷的科目。它让我掌握了求解大型线性方程组的技巧，并从几何角度看待问题，使整个过程变得直观。

然而，关于矩阵行列式，我只知道它们是矩阵的数字，以及如何计算它们，并没有学到更多。直到上了大学，我才了解到行列式背后的奥妙。

当我了解行列式的几何意义时，我就在想，为什么高中不教这个，因为它非常容易理解，而且让人大开眼界。

在数学中，如何计算永远不应该是第一个问题。第一个问题永远是： “它到底是什么？”

以导数为例，我们大多数人都知道导数是什么：

给定一个函数，它的导数就是它的斜率或变化率。

这是一个非常简单的描述。然而，以这种方式定义导数是如此强大和自由。无论具体函数是什么，函数的维数是多少，也无论如何计算，我们都能理解导数是什么。不同函数之间导数的实际计算方法有很大差异。然而，导数的基本含义将一切联系在一起，使混乱变得有序。

没有哪个老师会这样向学生介绍导数： “给定一个函数，导数就是另一个函数，计算导数的方法是这样的……”。然而，对于矩阵行列式，这样的解释似乎广为流传。用几何意义而不仅仅是一些数字来定义行列式，就像把导数看作斜率而不仅仅是函数一样。

行列式与几何

在深入研究行列式之前，让我们先快速回顾一下行列式的定义：矩阵。

矩阵是一个数字表，代表一个线性函数，输入一个向量，输出另一个向量：



我们也可以认为一个矩阵可以同时变换多个向量，而不是一个矩阵变换一个向量：



可以通过行列式的计算进行验证，如下：



看到了吗？看起来，我们选择的矩阵将空间拉开了。无论我们在输入空间中选择多大的区域，变换后的区域似乎都会变大。这正是行列式的作用！

矩阵的行列式是面积按矩阵缩放的因子。

因为矩阵是线性变换，所以只要知道一个个区域的缩放因子，就能知道所有区域的缩放因子。让我们回到刚才的例子：



应用矩阵变换后，这个矩形变成了一个底 2 、高 2 的平行四边形。这意味着，我们的矩阵将面积放大了 4 倍。因此，我们矩阵的行列式是 4 。不错吧？

这个故事有一个注意事项：行列式可以是负数！如果我们从面积为 1 开始，然后用一个负因子来缩放它，那么我们最终会得到一个负面积。而负面积是无稽之谈。解决方法很简单：如果矩阵的行列式为负数，例如 -2 ，那么面积的比例就是 2 。你可能会问 “这到底是什么意思？”。让我们来看看：



我们可以看到，给定矩阵的区域缩放系数为 2 。如果我们仔细观察，会进一步发现红色向量原本在绿色向量的右侧，但最后却在了左侧。这就是 “空间颠倒了方向 ”的意思。这就是为什么矩阵的行列式不是 2 ，而是 -2 。包括负行列式在内，我们可以得到完整的信息：

矩阵的行列式是一个有符号的因子，面积通过这个矩阵缩放。如果符号为负，矩阵就会反转方向。

我们所有的例子都是二维的。很难绘制更高维的图形。行列式的几何定义适用于更高维度，就像适用于二维一样。在三维空间中，行列式是体积的带符号缩放因子，在更高维度中则是超体积的带符号缩放因子。

知识就是力量

有了行列式这一新的几何定义，我们就能轻松地解决一些问题，而如果没有它，这些问题就很难解决。例如，你可能听说过，也可能没听说过下面这个事实：

如果一个矩阵的行列式为 0 ，那么它就是不可逆转的。

矩阵不可逆转意味着矩阵所代表的变换无法撤销或还原。如果我们只知道行列式是如何计算的，而对其几何意义一无所知，那么要证明这一事实是很困难的。相反，利用我们刚刚建立起来的关于行列式的直觉来解释这一事实并不难：

假设我们有一个行列式为 0 的矩阵。这意味着该矩阵将所有区域按 0 的系数进行缩放，这反过来又意味着所有区域在变换后都变为 0 。这只有在矩阵将整个空间压缩到一个较低维度时才会发生。例如，二维空间会被挤压成一条线或一个点，而这种变换是无法撤销的。

说到这里，我们可以自豪一下了。我们引入了矩阵行列式作为面积缩放因子，并成功证明了矩阵和行列式的一个著名性质。而这一切，我们甚至没有考虑行列式是如何计算的。但无论如何，这个问题应该是次要的。

总结：

行列式 (determinant) 可以通过几何和代数的角度来理解。这里是几种常见的直观理解：

1. 面积和体积

在二维空间中，行列式表示一个二维向量组所张成的平行四边形的面积。在三维空间中，它表示由三个向量张成的平行六面体的体积。行列式为零时，这些向量共线（二维）或共面（三维），意味着它们不能张成具有面积或体积的空间区域。

例如，对于二维矩阵：



这个值就是两个列向量张成的平行四边形的有向面积。如果结果为零，说明两个向量平行。

2. 线性变换的缩放因子

行列式也可以看作是线性变换在空间中的“缩放因子”。如果一个线性变换由矩阵 A 表示，那么它作用在一个单位面积或单位体积上时，会被行列式值缩放。比如，行列式为 2 ，意味着面积或体积扩大为原来的两倍；为 0 ，则表示空间被压缩到一个较低维度。

3. 可逆性判断

行列式可以帮助判断矩阵是否可逆。若行列式为零，矩阵是“奇异的”（即不可逆的），表示它不能在空间中完成某些变换。非零行列式表示矩阵可逆，因此它可以将空间中的点移动到任意位置而不坍缩。

这些直观解释有助于理解行列式在几何变换、面积/体积计算和矩阵理论中的应用。

感谢阅读！

读完能记住一句话就可以了：矩阵的行列式是面积按矩阵缩放的因子。

金朝老师来上课

白新岭

我想到了，一元二次整式分解上，或者一元二次方程的因式分解。
又到了，群证明一元二次方程有根式解的问题上。
它们，之间有联系吗？