连通性推出区间的证明过程中，全称量词和存在量词是不是用错了？

wufaxian

以下是证明过程（出自《数学分析新讲第一册 P120 》）的截图，问题在截图下方提出。




请看上面的证明。引理正文高亮处命题要求是“任意” α和β ，如果要按照这个条件推出集合 J 是一个区间我觉得很合理。
但是在证明过程中，却使用了“任意”γ “存在”α和β。我认为这样证明至少存在两个问题：

1 、歪曲了引理中命题的本意。命题的本意是“任意” α和β。所以证明的起点就错了！

2 、从“任意”γ ，“存在”α和β ，以及 A≤α<γ<β≤B,并不能导出γ∈J 。我举个例子加以说明假设 A=1 B=5 J=(1,2)∪(4,5) 。此时γ=3 也满足“任意”γ∈(A,B),同时一定“存在”α和β∈J ，使得 A≤α<γ<β≤B ，但是此时γ&#8713;J ，进而后续证明的逻辑链条就断了！


以上就是我对这个证明的困惑，可否指出我哪里想错了？谢谢！