数学都知道（2024.11.16）—— arXiv 专辑

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数学都知道（2024.11.16）—— arXiv 专辑

作者：蒋迅

ChatGPT “污染”：估计学术文献中法学硕士的流行程度

ChatGPT "contamination": estimating the prevalence of LLMs in the scholarly literature

https://arxiv.org/abs/2403.16887



ChatGPT 和类似的大型语言模型 (LLM) 工具在学术交流和学术出版中的使用已被广泛讨论，因为它们在 2022 年底变得容易为普通受众所使用。这项研究使用了已知在 LLM 生成的文本中不成比例地出现的关键字对学术文献中法学硕士辅助写作的流行程度提供总体估计。在 2023 年出版年，我们发现其中几个关键词的流行度（无论是单独还是组合）都呈现出独特且不成比例的增长。据估计，至少有 60,000 篇论文（略高于所有文章的 1%）是法学硕士协助的，尽管这个数字可以通过分析论文的其他特征或通过识别进一步的指示性关键词来扩展和细化。

机器即将解决费马大定理——一个曾经挑战它们的证明

Machines Are on the Verge of Tackling Fermat’s Last Theorem—a Proof That Once Defied Them

https://www.popularmechanics.com ... t-once-defied-them/



这是《大众力学》关于凯文·巴扎德 (Kevin Buzzard) 提出的将费马大定理证明形式化的项目。一位数学家将突破性的 100 页证明转化为计算机代码。证明工具 Lean 可以让用户将用散文编写的证明转化为测试的规则和逻辑。Kevin Buzzard 已经使用 Lean 并为学生制作了更好地学习证明的工具。

一个数学问题和一个元问题

A Math Question and a Meta Question

https://blog.computationalcomple ... -meta-question.html



早就看到过这个问题，没想到还在讨论。一个数学问题：找到满足以下条件的 x,y,z 正整数：x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) = 4 。

一个元问题：当博主提出这样的问题时，他们是否也应该发布答案？有答案吗？没有答案吗？

相关链接:

https://blog.computationalcomple ... estion-remains.html

公平的硬币往往落在与最初相同的一面：350,757 次抛掷的证据

Fair coins tend to land on the same side they started: Evidence from 350,757 flips

https://arxiv.org/abs/2310.04153



许多人都抛过硬币，但很少有人停下来思考这个过程的统计和物理复杂性。在一项预先注册的研究中，我们收集了 350,757 次抛硬币，以测试 Diaconis、Holmes 和 Montgomery (DHM；2007) 开发的人类抛硬币物理模型的反直觉预测。该模型断言，当人们抛一枚普通硬币时，它往往会落在与开始时相同的一面—— DHM 估计出现同面结果的概率约为 51% 。本文的数据为这一精确预测提供了强有力的支持。

库尔特·哥德尔与概念逻辑

Kurt Godel and the Logic of Concepts

https://arxiv.org/abs/2406.05442

有关哥德尔遗产的文献大多专注于挑战他的哲学观点，认为它们已经过时。这种方法使我们无法正确看待哥德尔的观点并理解其基本原理。本文从他本人理解的哲学领域来讨论他的观点。本文探讨哥德尔不完备定理对数学客观性及其认识论问题的影响。以集合论作为形式数学理论的范式，本文研究其不完备性和外延性之间的关系。基于他的哲学观点，本文认为，哥德尔认为只有从数学理论的基础上对概念进行一些内涵式的考虑，才能克服不完备性。这些考虑最终应该导致建立所谓的概念逻辑。

二十世纪的几何学：回归欧几里得——赫伯特·布斯曼的作品

Geometry in the twentieth century: A return to Euclid -- The work of Herbert Busemann

https://arxiv.org/abs/2406.01109

这是 Herbert Busemann (1905-1994) 作品的观点，被视为回归古希腊几何学。本文讨论了这项工作的重要性、其认可度及其与其他作品的关系。

纸牌戏法和信息

Card Tricks and Information

https://arxiv.org/abs/2405.21007

菲奇·切尼的 5 张牌戏法于 1950 年问世。2013 年，穆尔卡希发明了一种 4 张牌戏法，其中的牌可以面朝下显示。我们提出我们自己的发明：一种 3 张牌戏法，其中的牌可以面朝下，也可以垂直和水平放置。我们讨论了所有戏法背后的理论，并根据所选牌的数量估计了最大牌组大小。我们还讨论了隐藏多张牌的情况以及有重复牌的牌组的情况。

人工智能驱动的理论发现三巨头

A Triumvirate of AI Driven Theoretical Discovery

https://arxiv.org/abs/2405.19973

近年来，人工智能算法在纯数学和理论物理等基础科学中的应用急剧增加。这也许是违反直觉的，因为数学科学需要严格的定义、推导和证明，而实验科学则依赖于带有误差线的数据建模。在本文中，我们受历史案例的启发，将数学发现的方法分为“自上而下”、“自下而上”和“元数学”。作者回顾了过去几年的一些进展，比较和对比了每种方法的进步和缺点。作者认为，虽然理论家在不久的将来绝不会被人工智能取代，但人类专业知识和人工智能算法的混合将成为理论发现不可或缺的一部分。

平铺等边三角形

Tiling an Equilateral Triangle

https://arxiv.org/abs/1812.07014



假设 ABC 为等边三角形。对于某些三角形 T（“瓦片”）和某些 N ，可以将 ABC 切割成 N 个 T 副本。众所周知，只有某些 T 形状是可能的，但到目前为止，人们对 N 的可能值知之甚少。在这里，我们证明对于 N＞3 ，N 不能为素数，并更仔细地研究当瓦片具有 π/3 角时可能的瓦片排列。

蒙特卡罗方法入门课程

A First Course in Monte Carlo Methods

https://arxiv.org/abs/2405.16359



这是对蒙特卡罗方法的简明数学介绍，蒙特卡罗方法是一系列丰富的算法，在科学和工程领域有着深远的应用。蒙特卡罗方法是数学统计学家、计算和应用数学家感兴趣的课题：现代算法的设计和分析植根于广泛的数学工具箱，其中包括马尔可夫链的遍历理论、汉密尔顿动力系统、传输映射、随机微分方程、信息论、最优化、黎曼几何和梯度流等。这些讲义赞扬了数学思想的广度，这些思想导致了蒙特卡罗方法及其应用的切实进步。为了适应不同的受众，各章的数学严谨程度各不相同，只对技术要求最高的主题进行直观处理。目的不是全面或百科全书式的，而是通过精心选择的主题来说明蒙特卡罗方法设计和分析中的一些关键原则，这些主题强调永恒而非及时的思想。算法的呈现方式有利于概念理解和数学分析——清晰和直观比难以理解或依赖临时启发式的最先进的实现更受青睐。为了帮助读者了解蒙特卡罗方法的广阔前景，每种算法都附有其优缺点的摘要，并讨论了它们最有用的问题类型。演示文稿是独立的，因此适合自学或作为教学资源。每章都包含一个带有参考书目注释的部分，这对那些有兴趣研究蒙特卡罗方法及其应用的人很有用。

统计力学中的罗杰斯-拉马努金恒等式

Rogers-Ramanujan identities in Statistical Mechanics

https://arxiv.org/abs/2405.08425



作者描述了罗杰斯-拉马努金恒等式的发展历程；该恒等式已为人所知 85 年，有大约 130 个纯数学证明，直到 1980 年罗德尼·巴克斯特 (Rodney Baxter) 解决了统计力学中的硬六边形模型后，该恒等式才突然进入物理学领域。作者接下来介绍了乔治·E·安德鲁斯 (George E Andrews) 对罗杰斯-拉马努金类型的其他相关巴克斯特恒等式的证明，从而开启了物理学和数学之间新的蓬勃发展的伙伴关系。他们的叙述延续到随后的 44 年，解释了物理学和数学分析的进展。最后，他们展示了一些与椭圆 q-gamma 函数和一些矢量分割生成函数方程相关的交叉。

相关链接：

https://en.wikipedia.org/wiki/Rogers%E2%80%93Ramanujan_identities

反思美：数学发现的美学

Reflecting on beauty: the aesthetics of mathematical discovery

https://arxiv.org/abs/2405.05379



数学研究的动机往往是希望得到一个美丽的结果或以优雅的方式证明它。因此，数学家的工作受到其审美判断的强烈影响。然而，这些判断所依据的标准仍不清楚。本文重点讨论数学美的概念，它是数学中的核心美学概念之一。作者认为，数学之美揭示了看似不相关的问题或领域之间的联系，并可以更好、更广泛地洞察整个数学现实。作者还解释了美与其他重要概念（如深度、优雅、简单、富有成果等）之间的密切关系。

v-回文：回文的类比

v-Palindromes: An Analogy to the Palindromes

https://arxiv.org/abs/2405.05267

大约在 2007 年，作者之一 Tsai 偶然发现了他在汽车牌照上看到的数字 198 的一个性质。即，如果我们取 198 及其逆元 891 ，它们的质因数分解分别为   198 = 2×3^2×11 和 891 = 3^4×11 ，将每个因数分解后的数字相加可得到 2 + 3 + 2 + 11 = 18 和 3 + 4 +11 = 18 ，这两个和都是 18 。这类数字后来被命名为 v-回文数，因为它们可以看作是通常的回文数的类比。本文引入了以 b 为基数的 v-回文数的概念，并证明了它们在无穷多个基数中的存在。作者还展示了对每个奇素数 p 以 p+1 和 p^2+1 为基数的无限个 v-回文数族。最后，他们收集了一些涉及 v-回文的猜想和问题。

关于素数次无解方程

On unsolvable equations of prime degree

https://arxiv.org/abs/2406.14221



克罗内克观察到，具有整数系数的奇素数阶的可解不可约方程的所有根或只有一个根是实数。这为构造不能用根式解的方程的具体例子提供了可能性。韦伯提供了一个相对简单的证明，没有充分利用伽罗瓦理论。作者给出了克罗内克定理的一个相当简短的证明，其论证与韦伯的略有不同。韦伯证明的几种现代表述都存在不准确之处，这可以追溯到原始证明中的一个错误。作者讨论了这个错误以及如何纠正它。

激发学生直觉并因此内化为什么零阶乘等于一的替代方法

Alternative ways to initiate students' intuition, and hence internalization, of why zero factorial is equal to one

https://arxiv.org/abs/2103.10777



零阶乘定义为 1 ，这在学生看来往往是违反直觉的，但在课堂环境中传达这个概念却很有趣。挑战在于通过论证实践以简单有效的方式描述这一概念，这是数学和科学教育中常见的概念。在这方面，作者提出了两个代数论证和一个统计论证，使用了挤压定理。为了评估论证的有效性，作者在一所综合性大学进行了一项学生调查，结合了演示前后陈述的分析。他们清楚地表明，这些论证有助于相信零阶乘等于 1 。总体而言，在线调查的结果表明，学生更喜欢论证 1 。这些论证为教师提供了其他方法来探索学生理解零阶乘等于 1 等不明显事实的直觉设置。

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点和像素的数学：关于图像半色调的理论基础

The Mathematics of Dots and Pixels: On the Theoretical Foundations of Image Halftoning

https://arxiv.org/abs/2406.12760



图像半色调处理从其模拟根源到当代数字方法的演变包含了一个以技术进步和创造性创新为标志的迷人旅程。然而，对半色调处理的理论理解却要新得多。在本文中，作者探索了各种方法，以阐明半色调处理方法的设计及其工作原理。他们讨论了连续域和像素网格中的半色调处理。他们首先回顾了所谓静电半色调方法的数学基础，该方法偏离了将半色调图像的黑点视为带电粒子的启发式方法，这些粒子被图像的灰度值吸引并相互排斥。这种吸引-排斥模型可以通过再生核希尔伯特空间中的能量函数在数学上表示，从而可以对由此产生的优化问题进行严格分析以及在合适的拓扑中进行收敛分析。作者详细讨论的第二类方法是误差扩散方案，由于其能够直接在像素网格上工作并且易于应用，因此可以说是最流行的半色调技术之一。这些方案的主要思想是通过递归关系选择黑色像素的位置，该递归关系旨在使图像的局部平均值一致。他们讨论了这些方法的一些最新数学理解，这些理解基于与 Sigma-Delta 量化器的连接，Sigma-Delta 量化器是用于模拟到数字转换的一类流行算法。

二维和三维任意尺寸物体的布丰-拉普拉斯针问题

Buffon-Laplace Needle Problem with objects of arbitrary size in two and three dimensions

https://arxiv.org/abs/2402.06670



布丰-拉普拉斯针问题考虑一根长度为 l 的针随机落在一个大平面上，垂直平行线的距离分别为 a 和 b（a≥b）。作为随机概率中的一个经典问题，它是各种物理文献的数学基础。然而，它的潜在应用受到之前对其原始形式的限制。

人类数字起源的指标

Indicators of the human origin of numbers

https://arxiv.org/abs/2406.10240

研究人员已经证明，人类无法生成在统计意义上与简单分布（例如均匀分布）相对应的随机数序列。本文旨在介绍人类生成随机数序列的研究结果。本文描述了此类研究中发现的 10 种效应、解释这些效应的机制以及用于检测序列随机性偏差的 14 种措施（不包括修改）。数值序列的分析不仅具有学术意义；它还可以用于数据验证（审计）。

数学实体：语料库和基准

Mathematical Entities: Corpora and Benchmarks

https://arxiv.org/abs/2406.11577

数学是一个高度专业化的领域，具有其独特的挑战。尽管如此，对数学文本的自然语言处理的研究相对较少，针对 NLP 的数学语言资源也很少。本文旨在提供带注释的语料库，可用于研究不同语境中的数学语言，从教科书中的基本概念到高级研究数学。本文使用神经解析模型和一些人工干预对语料库进行预处理，以提供词性标记、词干和依存树。总共，本文在三个语料库中提供了 182397 个句子。然后，本文旨在使用这些语料库测试和评估几个值得注意的自然语言处理模型，以展示它们如何很好地适应数学领域并提供探索数学语言的有用工具。本文根据从语料库元数据中提取的基准评估了几个神经和符号模型，以表明术语提取和定义提取不容易推广到数学，并且需要额外的工作才能在这些指标上取得良好的表现。最后，本文提供了一个学习助手，它利用文本搜索和实体链接以上下文敏感的方式授予对这些语料库内容的访问权限。虽然本文的语料库和基准为评估数学语言处理提供了有用的指标，但还需要进一步研究以使模型适应数学，以便提供更有效的学习助手并将 NLP 方法应用于不同的数学领域。

印度数学从具体到抽象

From Concrete to Abstract in Indian Mathematics

https://arxiv.org/abs/2406.10147

尽管在过去的 200 年里，学术界对印度数学进行了大量研究，但印度数学的起源和发展条件仍不清楚。人们往往带着现在的概念和方法阅读古代文献。在这样的阅读中，人们也忽视了古代印度历史上很长一段时间没有文字的事实。本文旨在通过研究古代文献对当时数学性质的描述来探索数学的发展历程。通过对算术、几何和代数的调查可以发现，印度数学虽然是具体的、与背景相关的，植根于解决古代的实际问题，但随着以文字为基础的代数的出现，印度数学过渡到了不受背景限制的抽象阶段。

利用 SUMMIT-P 模型通过跨学科合作革新微积分

Renovating Calculus through Interdisciplinary Partnerships Using the SUMMIT-P Model

https://arxiv.org/abs/2406.08508

本评论文章重点介绍了作者参与 SUMMIT-P 项目的研究成果，该项目研究了如何建立和维持多机构跨学科合作伙伴关系，以设计和实施大学前两年数学课程的课程变革，并使用课程基础项目 (CFP) 作为启动平台。CFP 采访了合作学科的教师，以了解学生的数学需求以及他们如何在课程中使用数学。本文总结了 CFP 和 SUMMIT-P 项目的研究结果，并提供了一个详细的示例，说明这些研究结果如何在奥格斯堡大学的微积分课程中实施，以改善课程重点，提高课程内容的相关性，并为学生提供将微积分转移到学科背景的机会。本文基于 2022 年 AWM 研究研讨会“大学数学前两年研究”会议上发表的演讲“通过跨学科伙伴关系建立应用和主动微积分”。

尼尔森的逻辑图

Nelson's Logical Diagrams

https://arxiv.org/abs/2303.06498



众所周知，对立面的六边形推广是由三位哲学家在 20 世纪 50 年代早期独立发现的：保罗·雅各比、奥古斯丁·塞斯马特和罗伯特·布兰奇。德国哲学家伦纳德·纳尔逊 (1882-1927) 更早使用了类似的图表，但鲜为人知。本文探讨了纳尔逊的工作对 JSB 六边形历史以及更广泛的逻辑几何学的意义。

人工智能预言机在科学领域的探索

A Moonshot for AI Oracles in the Sciences

https://arxiv.org/abs/2406.17836



诺贝尔奖得主菲利普·安德森和伊莱胡·亚伯拉罕斯曾说过：“即使机器确实对常规科学有所贡献，我们也看不到它们能够通过任何机制引发库恩革命，从而建立新的物理定律。” 在本期《观点》中，我们借鉴了科学哲学和人工智能 (AI) 的见解，提出了这种机制产生革命性数学理论的必要条件。人工智能的最新进展表明，机器满足所提出的必要条件可能是合理的；因此，我们提出的必要条件也定义了一项登月挑战。我们还提出了数学理论可理解性的启发式定义，以加速机器理论家的发展。

欧拉积的显式解析延拓

Explicit Analytic Continuation of Euler Products

https://arxiv.org/abs/2406.18190



算术统计学中研究的许多不同对象的生成级数都可以用欧拉积来构建。欧拉积通常具有非常好的分析性质，通过构建亚纯连续性，人们可以使用复杂的分析技术（包括 Tauber 定理）来证明这些对象的渐近计数定理。生成亚纯连续性的一个标准技术是分解出黎曼 zeta 函数的副本，因为该函数的亚纯连续性是已知的。本文阐述了亚纯连续性的“因式分解方法”。我们针对算术统计研究提供了以下三种资源：（1）针对新研究人员介绍这项技术，（2）展示现有作品，并提供独立的证明，给出具有常数或 Frobenain 系数的欧拉积在右半平面 （远离孤立的奇点集）的延续，以及（3）关于这些欧拉积的所有奇点的位置和顺序的明确陈述。

阿诺德极限问题及其几何论证探讨

A Discussion of Arnold's Limit Problem and its Geometric Argument

https://arxiv.org/abs/2406.16570

通过重新审视弗拉基米尔·阿诺德为解释其著名极限问题而建立的引理，我们发现该引理本身是正确的，但是原来的几何证明存在缺陷。本文利用幂级数的方法证明了该引理的正确性，并构造了一个反例来说明阿诺德几何证明中的缺陷。

拓扑寻宝游戏介绍拓扑数据分析

A Topology Scavenger Hunt to Introduce Topological Data Analysis

https://arxiv.org/abs/2406.15580



本科阶段的拓扑学通常是一门理论数学课程，介绍点集拓扑或代数拓扑的概念。然而，过去二十年，应用拓扑学和拓扑数据分析呈爆炸式增长，这些主题可以以通俗易懂的方式呈现给本科生，并可以鼓励令人兴奋的项目。过去几年，麦卡利斯特学院的拓扑学课程涵盖了点集和代数拓扑以及应用拓扑的内容，最终形成学生选择的项目。在课程中，学生通过拓扑寻宝游戏作为一项活动，介绍拓扑数据分析中一些主要工具背后的思想和软件，即持久同源性和映射器。这个寻宝游戏包括各种不同尺寸的点云，例如二维环、三维环束、四维球体和 400D 圆环。学生的目标是使用各种软件分析每个点云以推断拓扑结构。完成此活动后，学生能够将在寻宝游戏中学到的想法扩展到开放式的顶点项目。过去项目的示例包括：使用持久性探索国家发展与地理之间的关系，分析国会投票模式，以及结合自然语言处理和机器学习工具对大量文本进行类型分类。

这不是“贝祖等式”

It is not "Bézout's identity"

https://arxiv.org/abs/2406.15642

给定两个非零整数 a 和 b ，存在整数 m 和 n ，其中 am - bn = (a,b) 。越来越多的数学家将此称为“贝祖恒等式”，其中一些数学家在布尔巴基的《数学元素》中发现了“贝祖恒等式”，这让他们大受鼓舞。此外，如果 gcd(a,b)=1 ，那么这是一个“当且仅当”条件，这一观察结果有时被称为“贝祖定理”。然而，这一切都出现在公元前 300 年左右欧几里得的作品中，当时他的著作是在上下文中解释的。那么为什么他没有得到赞誉呢？一些作者知道“贝祖恒等式”这个名字，也许没有咨询过欧几里得，所以抄袭了这个错误的归因。其他人，比如尼古拉斯·布尔巴基的一些合作者，可能浏览过欧几里得的成果，但以现代数学家的形式，错过了他真正做了什么（当然其他人，比如韦尔，没有错过）。在本文中，我们将仔细解释欧几里得的论证是什么以及他的方法是什么。我们还将分享科瓦尔斯基对布尔巴基错误命名背后原因的猜测。

通过随机微分方程建立基于分数的扩散模型——技术教程

Score-based Diffusion Models via Stochastic Differential Equations -- a Technical Tutorial

https://arxiv.org/abs/2402.07487



这是一篇关于基于分数的扩散模型的说明性文章，特别关注通过随机微分方程 (SDE) 的公式化。在简单介绍之后，我们将讨论扩散建模中的两个支柱——采样和分数匹配，其中包括 SDE/ODE 采样、分数匹配效率、一致性模型和强化学习。给出了简短的证明来说明所述结果的主要思想。本文主要是对该领域的技术介绍，从业者也可能会发现一些分析对设计新模型或算法很有用。

信息几何中的 EM 算法

The EM Algorithm in Information Geometry

https://arxiv.org/abs/2406.15398



本论文的目的是向非专业人士和应用领域的人士传达信息几何的基本概念及其应用，假设仅具有微积分、线性代数和概率论/统计学的一年级本科背景。我们首先介绍 EM 算法，提供 Python 中的典型用例，然后再概述基本的黎曼几何。然后，我们介绍信息几何和 em 算法的核心概念，并对 e 和 m 投影进行显式计算，最后讨论这项研究在深度学习领域的一个重要应用，提供一种新颖的 Python 实现。

利用数学研究人们如何影响彼此的观点

I don't do that well when the Jeopardy category is MathUsing mathematics to study how people influence each other's opinions

https://arxiv.org/abs/2307.01915



人们在与他人讨论事情时有时会改变自己的观点。研究人员研究观点的数学模型，以探索人们如何通过社交互动相互影响。在当今的数字世界中，这些模型可以帮助我们学习如何推广准确的信息并减少不必要的影响。本文讨论了一个简单的数学模型，该模型着眼于社交互动中的观点变化。作者简要描述了观点模型可以告诉我们什么，以及研究人员如何尝试使它们更加现实。

洛瓦兹猜想及拓扑方法在离散数学中的其他应用

Lovasz' Conjecture and Other Applications of Topological Methods in Discrete Mathematics

https://arxiv.org/abs/2405.05273

在 20 世纪的数学中，拓扑学涉及几何对象在连续变换下的性质，它在离散数学的研究（如组合学、图论和理论计算机科学）中有着惊人的应用价值。本文旨在向非专业人士介绍相关的拓扑概念，并选择一些现有的离散数学定理的应用。

形式数学中的算法和抽象

Algorithm and abstraction in formal mathematics

https://arxiv.org/pdf/2405.04699



作者分析了传统散文数学写作和计算机形式化数学写作之间的风格差异，并提出了五个案例研究。作者注意到，两者的良好风格似乎在两个方面有所不同：计算和抽象的结合。这反映了形式化数学的不同数学美学。

技术对数学竞赛影响的历史回顾

An historical overview of the influence of technology on mathematical competitions

https://arxiv.org/pdf/2404.07118RL

作者概述了技术进步如何影响美国高中和大学数学竞赛以及国际数学奥林匹克竞赛的历史。虽然学生在数学竞赛中不允许使用技术辅助工具，但过去一个世纪的技术发展（尤其是制图技术）以及此类辅助工具在课堂上的日益普及已经影响了所提出问题的性质及其预期解决方案。作者研究了几十年前竞赛中的几个有趣的例子。

一组与美国数学竞赛有关的文章

通过数学竞赛吸引学生

Engaging Students Through Math Competitions

https://arxiv.org/abs/2406.15460

第十二届美国青少年数学奥林匹克竞赛报告

Report on the 12th Annual USA Junior Mathematical Olympiad

https://arxiv.org/abs/2406.11094

第五十届美国数学奥林匹克竞赛报告

Report on the 50th Annual USA Mathematical Olympiad

https://arxiv.org/abs/2406.09518

原创 蒋迅 和乐数学 2024 年 11 月 16 日 12:52 广东