求阶乘的最后一位非 0 的数字

lihp2020

2025!的最后一个非0数字
计G(n) 表示 n的 最后一个非0数字 其中要求n>2
G(1) =1是唯一 的奇数 讨论无意义
我们可以看成 G(1)=6
##### 1 明显是 2 4 8 6 其中一个 不会是 奇数
证明 \(2025！= a*2^b*5^c (a是没得2 或 5因子的数)\)
明显 b远远大于c  所以 最后 一定是偶数
##### 2 任意数 *6 或 *1 末尾不变
##### 循环
故意写 {2 4 8 6 }没有写{2 4 6 8} 是这样 能生成一个循环
2*2=4
4*2=8
8*2=6
6*2=1
*2  就是 这个序列 往后移动 一   位
*3  就是 这个序列 往后移动 三   位
*4  就是 这个序列 往后移动 二   位
且 每4次一个循环
\(G（n*z^4） =G(n) \)
\(G（n*k） =G(n*(k+5))  k \in\{1,2,3,4\} \)  

##### 单独分析 5   
G(n*5)=G(n*5*6) =G(n*30) =G(n*3)
##### 进制转换
\((2025)_{10}=(31100)_5 \)

表示 就有5的指数 =405 +81 +16+3=505 mod 4=1
有 405 个 原始的1234 组合  
无剩下
有 81 个  5的一次 的1234 组合  lg(5 ,10,15,20) (30,35,40,45)
无剩下
有 16 个  5的二次 的1234 组合  lg(25 ,50,75,100)
剩下1  不会改变末尾数字
有 3 个  5的3次 的1234 组合  lg(125 ,250,375,500)
剩下 1 *1 不会改变末尾数字
最后剩下3个  625 *{1,2,3}    *1*2*3 =*6不会改变末尾数字
也就是 1234的组合有 405+81+16+3 =505个  mod 4=1

G(N*1*2*3*4)=G(n*4)
6*4*3=72
###  所以  2025!的最后一个非0数字是 2

lihp2020

总结结论
最简单 的最快 的方法
五进制每位求和 与4 求余
(3+1+1+0+0) mod 4= 1   
{ 2 4 8 6}  就步进一位
31100 中
遇见 13 不动
遇见 4 步进一位
遇见 2 步进三位(相当于后退一位)
lg ：g(234552!)
\((234552)_{10}=(30001202)_5 \)
(3+0+0+0+1+2+0+2 )mod 4=0
两个2 前进 6位 一共前进 6位 就是 前进2位
结果是 4

王守恩

A008904——a(n) 是 n!  的最后一个非零数字。

1, 1, 2, 6, 4, 2, 2, 4, 2, 8, 8, 8, 6, 8, 2, 8, 8, 6, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 6, 4, 4, 8, 4, 6, 8, 8, 6, 8, 2, 2, 2, 4, 2, 8, 2, 2, 4, 2, 8, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 2, 4, 2, 8, 4, 4, 8, 4, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 8, 8, 6, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 6, 8, 8, 6, 8, 2, 2, 2, 4, 2, 8, 2, 2, 4, 2, 8, 6, 6, ...

评论——十进制数 0.1126422428...由这些数字组成的是一个超越数;参见 G. Dresden 的文章。
评论——这个序列最终不是周期性的。这可以从序列可以作为形态的固定点获得的事实中推断出来。
加一条——这个规律可以有: 个位数5=相邻个位数6, 个位数0=相邻个位数1。
2, 6, 4, 2, 2, 4, 2, 8, 8, 8,
6, 8, 2, 8, 8, 6, 8, 2, 4, 4,
8, 4, 6, 4, 4, 8, 4, 6, 8, 8,
6, 8, 2, 2, 2, 4, 2, 8, 2, 2,
4, 2, 8, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 2,
4, 2, 8, 4, 4, 8, 4, 6, 6, 6,
2, 6, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 8, 8,
6, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 6, 8, 8,
6, 8, 2, 2, 2, 4, 2, 8, 2, 2,
4, 2, 8, 6, 6, 2, 6, 4, 4, 4,
8, 4, 6, 8, 8, 6, 8, 2, 2, 2,
4, 2, 8, 2, 2, 4, 2, 8, 6, 6,
2, 6, 4, 8, 8, 6, 8, 2, 6, 6,
2, 6, 4, 4, 4, 8, 4, 6, 4, 4,
8, 4, 6, 2, 2, 4, 2, 8, 2, 2,
4, 2, 8, 4, 4, 8, 4, 6, 6, 6,
2, 6, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 8, 8,
6, 8, 2, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 2,
4, 2, 8, 8, 8, 6, 8, 2, 8, 8,
6, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 6, 2, 2,
4, 2, 8, 4, 4, 8, 4, 6, 6, 6,
2, 6, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 8, 8,
6, 8, 2, 2, 2, 4, 2, 8, 4, 4,
8, 4, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 6, 6,
2, 6, 4, 8, 8, 6, 8, 2, 8, 8,
6, 8, 2, 6, 6, 2, 6, 4, 4, 4,
8, 4, 6, 4, 4, 8, 4, 6, 2, 2,
4, 2, 8, 2, 2, 4, 2, 8, 4, 4,
8, 4, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 6, 6,
2, 6, 4, 8, 8, 6, 8, 2, 6, 6.
2, 6, 4, 2, 2, 4, 2, 8, 8, 8,
6, 8, 2, 8, 8, 6, 8, 2, 4, 4,
8, 4, 6, 2, 2, 4, 2, 8, 4, 4,
8, 4, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 6, 6,
2, 6, 4, 8, 8, 6, 8, 2, 2, 2,
4, 2, 8, 4, 4, 8, 4, 6, 6, 6,
2, 6, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 8, 8,
6, 8, 2, 2, 2, 4, 2, 8, 4, 4,
8, 4, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 6, 6,
2, 6, 4, 8, 8, 6, 8, 2, 8, 8,
6, 8, 2, 6, 6, 2, 6, 4, 4, 4,
8, 4, 6, 4, 4, 8, 4, 6, 2,...

下面2个简单的通项公式是由中国网友 northwolves 创立的——A008904还没有。谢谢 northwolves！

Table[Last[IntegerDigits[n!] /. 0 -> Nothing], {n, 0, 25}]

Table[Select[IntegerDigits[n!], # > 0 &][[-1]], {n, 0, 25}]

特别地,   n=2025。

Last[IntegerDigits[2025!] /. 0 -> Nothing]

2

Select[IntegerDigits[n2025!], # > 0 &][[-1]]

2

王守恩

公式可以有很多,   没那2个简捷。

1. Table[Drop[IntegerDigits[n!], -Sum[Floor[n/5^k], {k, Log[5, n]}]][[-1]], {n, 0, 25}]

复制代码

1. Table[Block[{d = IntegerDigits[n!]}, While[d[[-1]] == 0, d = Most@d]; d[[-1]]], {n, 0, 25}]

复制代码

王守恩

1,(1)1,(2)2,(3)6,(4)4,(3)2,(1)2,(2)4,(3)2,(4)8,(1)
8,(1)8,(2)6,(3)8,(4)2,(4)8,(1)8,(2)6,(3)8,(4)2,(2)
4,(1)4,(2)8,(3)4,(4)6,(4)4,(1)4,(2)8,(3)4,(4)6,(3)
8,(1)8,(2)6,(3)8,(4)2,(1)2,(1)2,(2)4,(3)2,(4)8,(4)
2,(1)2,(2)4,(3)2,(4)8,(2)6,(1)6,(2)2,(3)6,(4)4,(3)
2,(1)2,(2)4,(3)2,(4)8,(3)4,(1)4,(2)8,(3)4,(4)6,(1)
6,(1)6,(2)2,(3)6,(4)4,(4)6,(1)6,(2)2,(3)6,(4)4,(2)
8,(1)8,(2)6,(3)8,(4)2,(2)4,(1)4,(2)8,(3)4,(4)6,(3)
8,(1)8,(2)6,(3)8,(4)2,(1)2,(1)2,(2)4,(3)2,(4)8,(4)
2,(1)2,(2)4,(3)2,(4)8,(2)6,(1)6,(2)2,(3)6,(4)4,(1)
4,(2)4,(2)8,(3)4,(4)6,(3)8,(1)8,(2)6,(3)8,(4)2,(1)
2,(1)2,(2)4,(3)2,(4)8,(4)2,(1)2,(2)4,(3)2,(4)8,(2)
6,(1)6,(2)2,(3)6,(4)4,(2)8,(1)8,(2)6,(3)8,(4)2,(3)
6,(1)6,(2)2,(3)6,(4)4,(1)4,(1)4,(2)8,(3)4,(4)6,(4)
4,(1)4,(2)8,(3)4,(4)6,(2)2,(1)2,(2)4,(3)2,(4)8,(4)
2,(1)2,(2)4,(3)2,(4)8,(3)4,(1)4,(2)8,(3)4,(4)6,(1)
6,(1)6,(2)2,(3)6,(4)4,(4)6,(1)6,(2)2,(3)6,(4)4,(2)
8,(1)8,(2)6,(3)8,(4)2,(3)6,(1)6,(2)2,(3)6,(4)4,(3)
2,(1)2,(2)4,(3)2,(4)8,(1)8,(1)8,(2)6,(3)8,(4)2,(4)
8,(1)8,(2)6,(3)8,(4)2,(2)4,(1)4,(2)8,(3)4,(4)6,(2)

1, 1, 2, 6, 4,(3)2, 2, 4, 2, 8,(1)
8, 8, 6, 8, 2,(4)8, 8, 6, 8, 2,(2)
4, 4, 8, 4, 6,(4)4, 4, 8, 4, 6,(3)
8, 8, 6, 8, 2,(1)2, 2, 4, 2, 8,(4)
2, 2, 4, 2, 8,(2)6, 6, 2, 6, 4,(3)
2, 2, 4, 2, 8,(3)4, 4, 8, 4, 6,(1)
6, 6, 2, 6, 4,(4)6, 6, 2, 6, 4,(2)
8, 8, 6, 8, 2,(2)4, 4, 8, 4, 6,(3)
8, 8, 6, 8, 2,(1)2, 2, 4, 2, 8,(4)
2, 2, 4, 2, 8,(2)6, 6, 2, 6, 4,(1)
4, 4, 8, 4, 6,(3)8, 8, 6, 8, 2,(1)
2, 2, 4, 2, 8,(4)2, 2, 4, 2, 8,(2)
6, 6, 2, 6, 4,(2)8, 8, 6, 8, 2,(3)
6, 6, 2, 6, 4,(1)4, 4, 8, 4, 6,(4)
4, 4, 8, 4, 6,(2)2, 2, 4, 2, 8,(4)
2, 2, 4, 2, 8,(3)4, 4, 8, 4, 6,(1)
6, 6, 2, 6, 4,(4)6, 6, 2, 6, 4,(2)
8, 8, 6, 8, 2,(3)6, 6, 2, 6, 4,(3)
2, 2, 4, 2, 8,(1)8, 8, 6, 8, 2,(4)
8, 8, 6, 8, 2,(2)4, 4, 8, 4, 6,(2)
2, 2, 4, 2, 8,(3)4, 4, 8, 4, 6,(1)
6, 6, 2, 6, 4,(4)6, 6, 2, 6, 4,(2)
8, 8, 6, 8, 2,(1)2, 2, 4, 2, 8,(3)
4, 4, 8, 4, 6,(1)6, 6, 2, 6, 4,(4)
6, 6, 2, 6, 4,(2)8, 8, 6, 8, 2,(4)
8, 8, 6, 8, 2,(3)6, 6, 2, 6, 4,(1)  
4, 4, 8, 4, 6,(4)4, 4, 8, 4, 6,(2)
2, 2, 4, 2, 8,(4)2, 2, 4, 2, 8,(3)  
4, 4, 8, 4, 6,(1)6, 6, 2, 6, 4,(4)  
6, 6, 2, 6, 4,(2)8, 8, 6, 8, 2,(3)
6, 6. 2, 6, 4,(3)2, 2, 4, 2, 8,(1)  
8, 8, 6, 8, 2,(4)8, 8, 6, 8, 2,(2)
4, 4, 8, 4, 6,(2)2, 2, 4, 2, 8,(3)  
4, 4, 8, 4, 6,(1)6, 6, 2, 6, 4,(4)
6, 6, 2, 6, 4,(2)8, 8, 6, 8, 2,(1)
2, 2, 4, 2, 8,(3)4, 4, 8, 4, 6,(1)  
6, 6, 2, 6, 4,(4)6, 6, 2, 6, 4,(2)
8, 8, 6, 8, 2,(1)2, 2, 4, 2, 8,(3)  
4, 4, 8, 4, 6,(1)6, 6, 2, 6, 4,(4)  
6, 6, 2, 6, 4,(2)8, 8, 6, 8, 2,(4)
8, 8, 6, 8, 2,(3)6, 6, 2, 6, 4,(1)  
4, 4, 8, 4, 6,(4)4, 4, 8, 4, 6,(2)  
2, 2, 4, 2, 8,(3)4, 4, 8, 4, 6,(3)
8, 8, 6, 8, 2,(1)2, 2, 4, 2, 8,(4)
2, 2, 4, 2, 8,(2)6, 6, 2, 6, 4,(2)
8, 8, 6, 8, 2,(3)6, 6, 2, 6, 4,(1)\
4, 4, 8, 4, 6,(4)4, 4, 8, 4, 6,(2)
2, 2, 4, 2, 8,(1)8, 8, 6, 8, 2,(3)
6, 6, 2, 6, 4,(1)4, 4, 8, 4, 6,(4)
4, 4, 8, 4, 6,(2)2, 2, 4, 2, 8,(3)
4, 4, 8, 4, 6,(3)8, 8, 6, 8, 2,(1)
2, 2, 4, 2, 8,(4)2, 2, 4, 2, 8,(2)
6, 6, 2, 6, 4,(4)6, 6, 2, 6, 4,(3)
2, 2, 4, 2, 8,(1)8, 8, 6, 8, 2,(4)
8, 8, 6, 8, 2,(2)4, 4, 8, 4, 6,(3)
8, 8, 6, 8, 2,(3)6, 6, 2, 6, 4,(1)
4, 4, 8, 4, 6,(4)4, 4, 8, 4, 6,(2)
2, 2, 4, 2, 8,(2)6, 6, 2, 6, 4,(3)
2, 2, 4, 2, 8,(1)8, 8, 6, 8, 2,(4)
8, 8, 6, 8, 2,(2)4, 4, 8, 4, 6,(1)
6, 6, 2, 6, 4,(3)2, 2, 4, 2, 8,(1)
8, 8, 6, 8, 2,(4)8, 8, 6, 8, 2,(2)
4, 4, 8, 4, 6,(1)6, 6, 2, 6, 4,(3)
2, 2, 4, 2, 8,(1)8, 8, 6, 8, 2,(4)
8, 8, 6, 8, 2,(2)4, 4, 8, 4, 6,(4)
4, 4, 8, 4, 6,(3)8, 8, 6, 8, 2,(1)
2, 2, 4, 2, 8,(4)2, 2, 4, 2, 8,(2)
6, 6, 2, 6, 4,(3)2, 2, 4, 2, 8,(3)
4, 4, 8, 4, 6,(1)6, 6, 2, 6, 4,(4)
6, 6, 2, 6, 4,(2)8, 8, 6, 8, 2,(2)
4, 4, 8, 4, 6,(3)8, 8, 6, 8, 2,(1)
2, 2, 4, 2, 8,(4)2, 2, 4, 2, 8,(2)
6, 6, 2, 6, 4,(1)4, 4, 8, 4, 6,(3)
8, 8, 6, 8, 2,(1)2, 2, 4, 2, 8,(4)
2, 2, 4, 2, 8,(2)6, 6, 2, 6, 4,(2)
8, 8, 6, 8, 2,(3)6, 6, 2, 6, 4,(1)
4, 4, 8, 4, 6,(4)4, 4, 8, 4, 6,(2)
2, 2, 4, 2, 8,(4)2, 2, 4, 2, 8,(3)
4, 4, 8, 4, 6,(1)6, 6, 2, 6, 4,(4)
6, 6, 2, 6, 4,(2)8, 8, 6, 8, 2,(3)
6, 6, 2, 6, 4,(3)2, 2, 4, 2, 8,(1)
8, 8, 6, 8, 2,(4)8, 8, 6, 8, 2,(2)
4, 4, 8, 4, 6,(2)2, 2, 4, 2, 8,(3)
4, 4, 8, 4, 6,(1)6, 6, 2, 6, 4,(4)
6, 6, 2, 6, 4,(2)8, 8, 6, 8, 2,(1)
2, 2, 4, 2, 8,(3)4, 4, 8, 4, 6,(1)
6, 6, 2, 6, 4,(4)6, 6, 2, 6, 4,(2)
8, 8, 6, 8, 2,(4)8, 8, 6, 8, 2,(3)
6, 6, 2, 6, 4,(1)4, 4, 8, 4, 6,(4)
4, 4, 8, 4, 6,(2)2, 2, 4, 2, 8,(4)
2, 2, 4, 2, 8,(3)4, 4, 8, 4, 6,(1)
6, 6, 2, 6, 4,(4)6, 6, 2, 6, 4,(2)
8, 8, 6, 8, 2,(3)6, 6, 2, 6, 4,(3)
2, 2, 4, 2, 8,(1)8, 8, 6, 8, 2,(4)
8, 8, 6, 8, 2,(2)4, 4, 8, 4, 6,(2)
2, 2, 4, 2, 8,(3)4, 4, 8, 4, 6,(1)
6, 6, 2, 6, 4,(4)6, 6, 2, 6, 4,(2)
8, 8, 6, 8, 2,(1)2, 2, 4, 2, 8,(3)
4, 4, 8, 4, 6,(1)6, 6, 2, 6, 4,(4)
6, 6, 2, 6, 4,(2)8, 8, 6, 8, 2,()

还真是个无理数。