\(\Large\textbf{有限是一个递归性质}\)

elim

有限作为为\(\mathbb{N}\)的元素的一种性质, 有以下共识：
\(\text{(i)}\;\;0\)是有限数;\(\quad\text{(ii)}\;\;\)若\(n\)是有限数, 则后继\(n'\)亦然.
令 \(S=\{n\in\mathbb{N}:\;n 是有限数\}\), 由上共识易见
\(\quad (0\in S)\wedge(n\in S\implies n'\in S).\) 据Peano 公理,
\(\quad S=\mathbb{N}.\) 即自然数皆有限数.

\(n=\{0,1,\ldots,n-1\},\;(\phi\ne n\in\mathbb{N})\)都有最大元\(\\\)
因而都是有限集(不能与自己的真子集对等)所以作为数
均为有限数
【注记】自然数皆有限数，\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\{m\in\mathbb{N}:m>n\}=\varnothing\)
\(\qquad\quad\)都是极其浅显的东西. 甚至没人把它们作为定理或
\(\qquad\quad\)习题提出来。
蠢疯不知自然数与超穷数的本质区别，是其种孬的明证．
数学白痴从小学四年级学生哪里学到有无穷大自然数，老
痴呆有很多东西可以从小学生那里学，不要尽学错的东西.

elim

孬种通过公开否定\(\Huge\color{red}{\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\phi}\)
再次验明了其集论白痴之真身．

elim

有限数的后继仍有限, 超穷数的前驱不能是有穷数。
故从自然数集的良序性知道没有超穷自然数。