判断2^k-1=mt，求证:c=mt

太阳

已知:\(3c-43=22a\)，\(c=2^k-1\)，整数\(a＞0\)，\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)
求证:\(c=mt\)
已知:\(3c-23=19a\)，\(c=2^k-1\)，整数\(a＞0\)，\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)
求证:\(c=mt\)
已知:\(3c-43=22a\)，\(3c-23=19a\)，\(c=2^k-1\)
整数\(a＞0\)，\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)
求证:\(c=mt\)

yangchuanju

解不定方程3c-43=22a，c=2^k-1，整数a＞0，奇数c＞0，有整数解——       
{{a=-1,k=3},{a=1115,k=13},{a=1143899,k=23},{a=1171354715,k=33},{a=1199467230299,k=43},{a=1228254443828315,k=53},{a=1257732550480196699,k=63},{a=1287918131691721421915,k=73},{a=1318828166852322736043099,k=83},{a=1350480042856778481708135515,k=93}}       
通式是k=10m+3，m是自然数（0和正整数）；       
解不定方程3-23=19a，c=2^k−1，整数a＞0，奇数c＞0，有整数解——       
{{a=322,k=11},{a=84769090,k=29},{a=22221708687682,k=47},{a=5825287602224068930,k=65},{a=1527064193197426325944642,k=83}}       
通式是k=18n+11，n是自然数；       
联解不定方程3c-43=22a，3c-23=19a，c=2^k-1，整数a＞0，奇数c＞0，有整数解       
10m+3=18n+11, 10m=(18n+8)/10的整数解是——       
m=9t+8，n=5t+4，t是自然数。       
较小的几个整数解是——       
83        素数
173        素数
263        素数
353        素数
443        合数
533        合数
623        合数
713        合数
803        合数
893        合数
983        素数
……       
1000以内的14个梅森素数中没有以上述5个素数为指数的梅森素数。       

yangchuanju

单独解不定方程3c-43=22a，c=2^k-1，整数a＞0，奇数c＞0，有整数解——
{{a=-1,k=3},{a=1115,k=13},{a=1143899,k=23},{a=1171354715,k=33},{a=1199467230299,k=43},{a=1228254443828315,k=53},{a=1257732550480196699,k=63},{a=1287918131691721421915,k=73},{a=1318828166852322736043099,k=83},{a=1350480042856778481708135515,k=93}}
通式是k=10m+3，m是自然数（0和正整数）；
k=3,13,2203,4253,4423,……时的梅森数不是合数；
单独解不定方程3c-23=19a，c=2^k-1，整数a＞0，奇数c＞0，有整数解——
{{a=322,k=11},{a=84769090,k=29},{a=22221708687682,k=47},{a=5825287602224068930,k=65},{a=1527064193197426325944642,k=83}}
通式是k=18n+11，n是自然数；
k=19937,21701,756839,1398269,2976221，……时的梅森数也不是合数。

太阳

已知:\(199-3c=14a\)，\(135-3c=11m\)，\(3c-3=13t\)，\(7d+3=3c\)，\(c=2^k-1\)
整数\(a\ne0\)，\(d\ne0\)，\(m\ne0\)，\(t\ne0\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(c=p\)

太阳

已知:\(199-3c=14a\)，\(135-3c=11m\)，\(3c-3=13t\)，\(7d+3=3c\)，\(c=2^k-1\)
整数\(a\ne0\)，\(d\ne0\)，\(m\ne0\)，\(t\ne0\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(c=p\)
例子，k=61，k=2281

太阳

梅森数具备5楼命题条件，基本上判断它是素数，2^61-1，2^2281-1

yangchuanju

太阳 发表于 2025-1-8 12:37
梅森数具备5楼命题条件，基本上判断它是素数，2^61-1，2^2281-1

奉劝太阳先生，听小弟一句话，别在在您的那个泥潭中挣扎了，
素数公式不存在，梅森素数公式更不会存在，
迥然2^61-1、2^2281-1符合您苦苦设定的4个条件，但2^181-1、2^241-1、2^421-1、2^541-1等诸多（指数是60s+1的）梅森数都不是素数呀！
（初步判断符合4个条件的梅森素数还有46#和49#两个）