从不定积分到斯托克斯公式

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从不定积分到斯托克斯公式

原创 云深之无迹 云深之无迹 2024 年 10 月 26 日 21:11 江苏

学完高数的人都知道，我的标题其实是写了涵盖了所有的积分学知识。主要是整理内容，串成一条线。初读书很厚，读到现在又很薄。

首先涵盖了一元函数积分学，多元函数积分学，然后是重积分，曲线积分并行的有曲面积分。

他们的公有特点就是不定积分，我想说的是，最重要的是不定积分。其余只是划分方式不同而已。

有哪些不定积分的运算（心算）技巧？[1] 不定积分的名字是因为常数在求导过程中会丢失，一般不定积分会画出一簇可能的原函数簇。

具体方法呢？课本上讲了这么几个：

1. 湊一凑这个积分就凑出来了 就是复合函数的逆用法。

2. 第二类换元积分.眼准手快 第二类是使用一些恒等变形，主要是使用三角函数之间的关系来换元，最后记得再换回去。

3. 分部积分：多个函数的乘积方式。

4. 还有一大类是分式积分。

大概就是这么多，后面转入了定积分的世界，事实上，按照课程设置定积分的意思就是定积分-黎曼和的极限，定积分在曲线长度中的基本概念，我们发现定义是有了，但是计算太复杂了，接着牛顿莱布尼兹定理才把定积分和不定积分连在一起。

当然在定积分这里有很多不一样的积分：变限积分，反常积分（广义积分），这些积分都是在积分限上面做了手脚。

● 变限积分就像一个可变长度的尺子，测量函数在不同区间上的“面积”。

● 广义积分就像测量一条无限长的线段或一个无限大的区域，需要用极限的思想来处理。



对，就是这个图



变限积分就记住求导了。广义积分的话，就是要考虑到底能不能收敛的问题了。

OK，进入下一本书：

书里面第八章也就是下册第一章讲了空间解析几何和向量代数，因为多元微积分不可避免的要表示一些空间曲面，这些东西。向量代数其实最重要的地方在向量，就是有很多的量是带方向的——多元微积分——向量分析上 ，就是因为这个向量，就出现了后面大名鼎鼎的高斯公式或者斯托克斯这些东西。

这里重点会表示，平面方程和直线方程，是不是有点分不清？

在三维空间中，平面是一个无限延伸的二维平面。描述平面的方程称为平面方程。

已知平面上的一点和垂直于平面的法向量，可以唯一确定一个平面。



继续深入哈，现在就要把这些几何的东西代数化。

在三维空间中，曲面可以看作是无数个点的集合。如果一个点的坐标 (x, y, z) 满足某个方程 F(x, y, z) = 0 ，那么这个点就位于这个曲面上。

这个方程 F(x, y, z) = 0 就称为曲面的方程。

常见曲面方程:

● 平面: Ax + By + Cz + D = 0

● 球面: (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2

● 椭球面: (x^2/a^2) + (y^2/b^2) + (z^2/c^2) = 1

● 单叶双曲面: (x^2/a^2) + (y^2/b^2) - (z^2/c^2) = 1

● 双叶双曲面: (x^2/a^2) - (y^2/b^2) - (z^2/c^2) = 1

● 椭圆抛物面: z = (x^2/a^2) + (y^2/b^2)

● 双曲抛物面: z = (x^2/a^2) - (y^2/b^2)

● 圆柱面:

  ■ 绕 x 轴旋转：y^2 + z^2 = r^2

  ■ 绕 y 轴旋转：x^2 + z^2 = r^2

  ■ 绕 z 轴旋转：x^2 + y^2 = r^2

方程表示曲面上所有点的坐标，形状反映了曲面的形状，我觉得还是要明确一点，方程确实还是由很多的点组成的。

还有一点概念，空间曲线方程，空间曲线是三维空间中的一条曲线。它可以看作是两个曲面的交线。

参数方程:

x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

其中，t为参数。随着t的变化，(x, y, z)点在空间中描绘出一条曲线。

一般方程:

F(x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0

表示这条曲线同时位于两个曲面上。

● 参数方程: 描述了曲线上的点随参数的变化而移动的规律。

● 一般方程: 描述了曲线与两个曲面的关系。

● 空间曲线是两个曲面的交线。

● 曲面上的一条曲线可以用参数方程表示。

空间曲线，你就想，空间里面的一个曲线是咋出来的，是两个曲面的交线。

不管怎么说，其实知道这些就以及很棒啦！

严谨的来说，书里面现在引入的是多元函数的概念，反正就是和上册差不多（差得多），重点要知道一文速通多元函数，因为只关心后面积分学要用到的内容。

重积分是下册出现的第一种积分，上册书有个明显的特点就是一个变量，积分式子里面也是一个变量，只能表示两个方向。

二重积分有两个变量，就引入了一个完整平面的概念。你想我上面写的曲面方程，是不是就两个变量决定一个值，所以二重积分的几何含义就是曲顶柱体的体积。



定义式说明一切，D 就是我们要积分的区域，f 是盖子。

现在的问题是定义完了怎么算？经常老师说，重积分转换成累次积分计算！其实有个定理叫富比尼定理说的就是这个。

重积分第一个要点就是积分区域的划分，也就是口诀，先交先定限。我习惯是先理解，我们要知道重积分也是划分，也是切割，其实是定积分的应用差不多的感觉。



我们经常说要按照某区域划分的意思是，这个区域是容易切割的。



就是沿着轴就是这个区域的划分



同理是 Y

目的就是简单的划分，记住按照什么划分就是沿着什么轴，也就是什么型。

累次积分就是一个变量一个变量的积分，积分顺序问题就按照上面的划分方式确定。



这个图，Y 划分就一次算完，X 划分就要两块积分四次。



还有一种是极坐标方式，看角和极径。



漂亮。



极坐标也有类似的定理。



两个坐标系的对比

然后还有什么？三重积分！



先看一重和二重的



三重的就是这样的，二重的是一长条



对比

三重的 Ω 区域是空间闭区域！！！是空间里面的。

知道概念就开始计算，没错，和上面一样也是累次积分，但是这里有些小讲究。



第一类是在 XOY 平面闭区域。这样的闭区域也常称为类型 I 区域。



计算的时候是这样的，因为几何是计算的质量，这里也就是使用质量来说明了。



三次



还有二三区域

每一类积分都有相应的坐标变换，三重积分也不例外，这里三个变量，所有就有：



柱面坐标系



计算



这种就合适



还有球面坐标系



球面下的积分

这里重点说完了重积分，从二次到三次，可以看到其实都是一样的思想。只是二重重划分，就是怎么切。三重重投影，因为要降维到二维，到一维。所谓的截面法其实就是讲的一种投影的思想。

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接下来是曲线和曲面积分，是不是糊涂了？

没事，其实字面意思，一个曲线如何计算。第一种叫对弧长，也叫第一类曲线积分：



这样的



定义式



它的计算是使用了上册的弧微分。

还有一类叫：对坐标的曲线积分。

也就是第二类曲线积分，有坐标的就有方向了。



比如地球上的气流场



给的每一个点都可以计算出对应的气流方向



在这样的场里面计算就是坐标计算了。

这个东西太抽象了，纯数学得话，这里就引入了物理得解释:



可以认为是物体在一个场里面的做功情况



第二类的表示公式



计算起来是这样的



两者之间，一个是向量一个是标量



关于方向我懒得写了。

接下来是曲面积分，也叫平面积分：



二重积分是曲顶面积，曲面就是曲面



就是这个面



对面积的曲面积分



曲面积分里面就有正方向了，如果是曲线那就是顺时针和逆时针，曲面就是上下左右前后。



这个在里面走的时候，需要知道我们关心得是外圈的面积，所以就是看起来是里面和外面的相反的。



这是需要方向的情况。



这是曲面的定向。



这种就定向不了，走一圈就转方向了。



这个是坐标的曲面积分

然后两个曲面积分的联系呢？



两个的联系



这里不写太详细，直接给出定义和计算：



对面积的曲面积分



对坐标的曲面积分



也可以这样定义，他们都叫第二类对坐标的曲面积分



俩类的关系



计算方法，耳朵好疼，快速结束这里。



高斯公式

定理说，如果一个区域，也就是曲面积分是由这个所谓的闭曲面就是外面的一个盖子围成：



示意图



上的三重积分可通过其外侧表面上的曲面积分来计算。



斯托克斯公式讲的是将作用在曲面边界的力 F 沿 X 轴 Y 轴 Z 轴三个方向分解，其中 X 轴水平方向的分力沿曲面边界逆时针运动所做的功等于该水平方向的力作用在曲面投射到 ZX 平面的投影让该曲面投影逆时针旋转的势能减去该水平方向的力作用在曲面投射到 XY 面的投影让该曲面投影顺时针旋转的势能。其它两个方向的分力沿曲面边界做功也是同理。



写不完了，下次补全吧，主打一个虎头蛇尾。

云深之无迹