求实数 a,b ，使得 m=√(a-1)+√(b-1) ，n=√(a+1)+√(b+1) 为两个非连续的整数

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求实数 a,b ，使得 m=√(a-1)+√(b-1) ，n=√(a+1)+√(b+1) 为两个非连续的整数

原创 老张头做题 老张头做题 2024 年 11 月 28 日 11:27 江苏



老张头做题

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通常思路：求实数 a,b ，使得 m=√(a-1)+√(b-1) ，n=√(a+1)+√(b+1) 为两个非连续的整数，

即求实数 x,y ，使得 m=√x+√y ，n=√(x+2)+√(y+2) 为两个非连续的整数。

显然，x，y∈[0，＋∞）。由条件有n-m=√(x+2)+√(y+2)-√x-√y≥2,

即√(x+2)+√(y+2)≥√x＋√y＋2,经过两次平方，可化为：(√x+√y)^2+2√(xy)(√x+√y)+2√(xy)≤2。

∴m=√x+√y=0或1。若√x+√y=0，则n=√(x+2)+√(y+2)=2√2（不合条件）。

故√x+√y=1。若x=0或y=0,则都有n=√(x+2)+√(y+2)=√3+√2（不合条件）。

∴x，y∈(0，1）,故n=√(x+2)+√(y+2)＜2√3，即只能√(x+2)+√(y+2)=3。

由√x+√y=1和√(x+2)+√(y+2)=3易解得x=y=1/4，即a=b=5/4。