他在野外进行大地测量，竟开创出新的数学分支

luyuanhong

他在野外进行大地测量，竟开创出新的数学分支

原创 蔡驰南 蔡爸谈数学 2024 年 11 月 04 日 18:04 浙江

你知道吗？“数学王子”高斯（Carl Friedrich Gauss ，1777 年 4 月 30 日 — 1855 年 2 月 23 日）一生真正花在纯数学研究上的时间并不算多。



他虽然受布伦瑞克-吕讷堡公爵资助，21 岁就完成数论著作《算术研究》（1798 年），但这本书的价值直到出版二十年后才被认识到。为谋生计，高斯转向了更实际的天文学和大地测量工作。

1818 年至 1826 年间，高斯主持了对汉诺威全境的测量工作，正是在野外风餐露宿进行测量时，他发现：如果地面上一个三角形足够大，那么它的三内角之和将不再是 180° 。



这是怎么一回事呢？

原来我们中小学接触的都是欧几里得几何，这是一种在平直空间内的几何。

通俗理解就是，画在平坦白纸上的几何，所以三角形三内角和永远是 180° 。

但如果是画在地球球面上的呢？

想象一下一只在球面上的蚂蚁，它无法跳脱到三维空间来观察，那么它该怎样测量纸面上两点间的距离呢？

对，用球面上的坐标系，就像地球上的经纬线一样，我们可以称它为局部坐标系，而我们理想中的平直三维空间可以认为是世界坐标系。



高斯做的就是在局部坐标系和世界坐标系之间搭建一座桥粱，知道彼此如何换算。更重要的是，如果这个球非常大，蚂蚁仿佛爬在巨大的纸面上一样，那么它能否知道这张纸是否平坦呢？

答案是：可以，要通过线元的计算来了解所在几何体的特征。

什么是线元计算？

就是在局部坐标系下，计算长度的方式。

我们取极小的长度为 ds ，那么在欧式几何二维空间内，根据勾股定理就有：ds^2=dx^2+dy^2 ，ds^2 就是线元，而线元决定了几何性质。



所以，在球面上，ds^2 的计算就不同了。

可是球面不是依然在平直的三维空间中吗？

如果用平直三维空间的世界坐标系角度来看（采用 xyz 三维坐标），线元依然满足勾股定理：ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 ，没有变化。



然而，别忘了，蚂蚁无法离开球面，它只能用球面上的局部坐标系来观察（采用球面上 uv 二维坐标），在蚂蚁眼中，线元变成了这样：

ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2 。

其中 E=xu^2+yu^2+zu^2 ，F=xuxv+yuyv+zuzv ，G=xv^2+yv^2+zv^2 。



线元的不同，说明观察所依托的几何空间不同。

就像换了刻度不同的尺子一样：曾经用的是三维空间中的平直坐标来度量，而现在换成了球面上经纬线来度量。

这也是世界坐标系与局部坐标系的转化。



这一转化不仅仅降维了，还反映出这把尺子本身的几何特性——总曲率。

这就是高斯透过表象，看到的本质。

他通过一系列换算发现，无论采用怎样的局部（曲面上的）坐标系，曲面上某处的总曲率是不变的，总曲率又被称为高斯曲率。

高斯曲率：K=(LN-M^2)/(EG-F^2) 。

高斯还证明了他算出来的总曲率 K ，就等于欧拉曾经提出过的，曲面上一点最大曲率与最小曲率之积。





更神奇的是，无论曲面在更高维空间中是否弯曲，高斯曲率都不会发生变化。

我们拿出一张平坦的纸，上面任意一点的最大与最小曲率都是 0 ，所以它的高斯曲率为 0 。

然后我们将这张纸卷起来，形成一个圆柱体的侧面，这时纸面上一点的最大曲率为圆柱半径 r 的倒数，而最小曲率为 0 ，所以卷起来的纸的高斯曲率依然为 0 。



纸虽然在世界坐标系中（三维空间中）弯曲了，但是它的局部坐标系——“纸”上的网格线，没有拉伸，所以高斯曲率没有变化。

高斯发现这个规律后也大呼神奇，将其取名为：高斯绝妙定理。

并称这种研究局部坐标系的几何为内蕴的几何，顾名思义，它本身是否被拉伸与它在外部空间（世界坐标系）中如何变化没关系。



1827 年，完成了汉诺威全境测量的高斯，将自己的研究成果汇成了《曲面的一般研究》一书，并出版，这标志着微分几何的诞生。

这是一种将分析引入了几何中，通过见微知著的新视角，研究几何空间的数学分支。



更重要的是，在此之前人们一直认为曲面只能放在三维空间中去研究，而高斯改变了这种观点：他认为可以将曲面本身看成一个空间，忘掉它身处三维空间之中，那么将突破欧式几何的限定，进入了非欧几何的世界。

几何 Geometry ，原意为：大地测量，没想到在欧几里得写成几何原本两千年后，数学王子高斯又一次因为测量大地，开创出了新的分支，并且对接下来一百余年的现代数学与物理学产生了深远影响。

推荐阅读



《数学史》| 北京大学出版社

北京大学新译的《数学史》一书，以宏大的视角，清晰的人物脉络，将数学思想与故事相结合娓娓道来，通俗易懂又不失专业性，如果想点燃对数学的兴趣，少不了这些有营养的书。



《几何学的力量》| 中信出版集团

中信出版集团的《几何学的力量》一书，以幽默的文字与独特的视角，开启一段奇妙的探索之旅。不但揭示出几何学的深刻内涵，还用几何学重新丈量我们的世界，给人醍醐灌顶的感觉，文字友好，适合初学者拓展阅读。



《可视化微分几何和形式：一部五幕数学正剧》| 图灵出品

图灵出品的《可视化微分几何和形式》豆瓣评分高达 9.9 分！被认为是“小说一般流畅的数学教材！”是旧金山大学数学系教授、诺奖得主罗杰·彭罗斯弟子特里斯坦·尼达姆的经典巨作！全书 200 多幅手绘示意图，将“微分几何”回归为“几何”，运用牛顿的几何方法对经典结果做出了几何解释。适合对微分几何感兴趣，希望从专业角度入门了解的读者。

蔡爸谈数学