常见的对数不等式和欧拉常数

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常见的对数不等式和欧拉常数

原创 NERV000 有条有梅 2025 年 01 月 17 日 10:30 河南

对数不等式，经常用来估计对数函数在某一点处值的大小，即：



上述不等式，是最常见的对数不等式。下面，我们用上述不等式，说明一个级数确实收敛，该级数的值就是欧拉常数。为此，我们先看一下调和级数的部分和：



当然，欧拉常数可以通过多种方法定义，下面是最常见的定义：



下面我们构造一个级数，该级数的值与欧拉常数相同：



引理（9）的作用，主要是说明，该正项级数，是小于 p-级数的（当 p=2 时）。由于 p-级数收敛，所以该级数收敛。下面是证明过程：



Remark:

这个例子说明，常见的对数不等式，不仅考试的时候有用，在判断级数的敛散性时，也很有用。欧拉常数，单从它的定义去看，就提供了估算调和级数前 n 项和的方法。即，调和级数的前 n 项和，与自然对数在 n 处的值，非常接近。

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