舒尔不等式

luyuanhong

舒尔不等式

原创 sinarcsin 形貌 2024 年 12 月 09 日 00:01 四川

舒尔不等式

设 a,b,c≥0 ，t 为实数,则有:



当且仅当 a=b=c ，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号成立。特别地，当 t 为非负偶数时，不等式对所有实数 a,b,c 都成立。

证明：

不妨设 a≥b≥c ，则 a^t-b^t+c^t≥0 ，从而有

  a^t(a-b)(a-c)+b^t(b-c)(b-a)+c^t(c-a)(c-b)

= a^t(a-b)^2+(a-b)(b-c)(a^t-b^t+c^t)+c^t(b-c)^2 ≥ 0 。

罗马尼亚数学家 Valentin Vornicu 在 2007 年提出了下文所示的舒尔不等式的推广形式，并给出了证明。

Valentin Vornicu 的推广形式

设实数 a,b,c,x,y,z 满足 a≥b≥c ，而且 x,y,z 满足 x≥y≥z 或 z≥y≥x ，设 k 为正整数， 是凸函数（函数的凹凸性与琴生不等式）或者是单调函数，则有：



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