手电筒模型+大胆猜想小心求证

luyuanhong

手电筒模型+大胆猜想小心求证

原创 一千零一题 学习思考思考学习 2025 年 01 月 22 日 23:40 江苏

一、题目



二、解法



三、反思

1. 以上的解法是兰琦《一千零一题》上给出的，有点繁琐，其实这是一个典型的手电筒模型问题，来不及写了，明天补上；

2. 要先证明  AB 的斜率与 AD 的斜率的乘积为定值。

学习思考思考学习

Ysu2008

直线BD方程为 \(y=-\frac{4k^4+5k^2+1}{3k\left( k^2+4\right)\left( 4k^2+1\right)}x-\frac{5}{3}\)

手电筒模型是啥？

波斯猫猫

思路：设B(2cosθ，sinθ)，D(2cosα，sinα)，则AB: (1-sinθ)x+2(y-1)cosθ=0，

即(1-sinθ)x+2ycosθ-2cosθ=0. ∴ 圆心(-1，0)到AB的距离满足，

∣-(1-sinθ)-2cosθ∣^2=r^2[(1-sinθ)^2+4(cosθ)^2]，

即(r^2-1)(3sinθ+5)=4cosθ. 同理，对直线AD，有(r^2-1)(3sinα+5)=4cosα.

消去r化简得，sin(θ-α)/(cosθ-cosα)=5/3.

又BD: y-sinθ=(x-2cosθ)(sinθ-sinα)/[2(cosθ-cosα)]，

∴  y=(sinθ-sinα)x/[2(cosθ-cosα)]+sinθ-cosθ(sinθ-sinα)/(cosθ-cosα)
      
     =(sinθ-sinα)x/[2(cosθ-cosα)]-sin(θ-α)/(cosθ-cosα)
      
     =(sinθ-sinα)x/[2(cosθ-cosα)]-5/3.   ∴ 直线BD过定点(0，-5/3).

波斯猫猫

2. 要先证明  AB 的斜率与 AD 的斜率的乘积为定值。（那道不一定）