过 A(0,1) 作圆 (x+1)^2+y^2=r^2 两条切线，交椭圆 x^2+4y^2=4 于 B,D，证 BD过一定点

波斯猫猫

手电筒模型+大胆猜想小心求证(原题见《数学期刊》)

原创 一千零一题 学习思考思考学习 2025 年 01 月 22 日 23:40 江苏

过椭圆x^2+4y^2=4的上顶点A作圆(x+1)^2+y^2=r^2 (0＜r＜1)的两条切线，

交椭圆于B，D两点，求证直线BD过一定点(如图).


思路：设B(2cosθ，sinθ)，D(2cosα，sinα)，则AB: (1-sinθ)x+2(y-1)cosθ=0，

即(1-sinθ)x+2ycosθ-2cosθ=0. ∴ 圆心(-1，0)到AB的距离满足，

∣-(1-sinθ)-2cosθ∣^2=r^2[(1-sinθ)^2+4(cosθ)^2]，

即(r^2-1)(3sinθ+5)=4cosθ. 同理，对直线AD，有(r^2-1)(3sinα+5)=4cosα.

消去r化简得，sin(θ-α)/(cosθ-cosα)=5/3.

又BD: y-sinθ=(x-2cosθ)(sinθ-sinα)/[2(cosθ-cosα)]，

∴  y=(sinθ-sinα)x/[2(cosθ-cosα)]+sinθ-cosθ(sinθ-sinα)/(cosθ-cosα)
      
     =(sinθ-sinα)x/[2(cosθ-cosα)]-sin(θ-α)/(cosθ-cosα)
      
     =(sinθ-sinα)x/[2(cosθ-cosα)]-5/3.   ∴ 直线BD过定点(0，-5/3).

Ysu2008

解得好，有手段。

luyuanhong

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