一张圆纸分为六等分，2 部份涂红色，2 部份涂黄色，2 部份涂白色，有几种不同的涂法？

Bathan_Tam

请教各位，可以怎样不重不漏分类讨论，有点乱

luyuanhong

Ysu2008

不考虑翻面的情况下就是陆老师计算的 16 种，考虑翻面的情况下则是 11 种。
以下是 DeepSeek 的解答：

Ysu2008

DeepSeek回答此题的“心路历程”，有点啰嗦……
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嗯，今天遇到了一个数学题，题目是说一个圆被分成6等份，用红绿蓝三种颜色来涂，每种颜色要涂两等份，问共有多少种不同的涂法。一开始看起来好像挺简单的，但仔细想想可能会有旋转或翻转导致的重复情况，所以可能需要用到组合数学里的排列组合知识，特别是涉及到圆排列的情况。不过具体怎么算呢，我得慢慢理清楚思路。

首先，先不考虑圆的旋转和翻转的情况，假设这是一个直线排列的问题。也就是说，有6个位置，每个位置涂色，三种颜色各涂两次。那么这种情况下有多少种不同的涂法呢？这时候应该用排列组合中的多重排列公式，也就是6!/(2!×2!×2!)，因为每个颜色都用了两次，所以需要除以各自重复的次数。计算一下的话，6!是720，2!是2，所以分母是2×2×2=8，720/8=90种。不过这是直线排列的情况，但题目是圆排列，所以需要考虑旋转和翻转的对称性导致的不同排列被视为同一种情况的情况。

接下来，我需要考虑圆排列的情况。通常来说，圆排列的问题需要用到群论中的Burnside引理来计算不同的等价类数目，也就是在考虑旋转和翻转对称后的不同颜色排列数目。不过题目里是否要考虑翻转呢？题目里没有明确说，但一般来说，如果没有特别说明，可能需要考虑旋转对称性，而翻转是否需要考虑可能需要看题目的默认情况，比如如果是手链的话通常会考虑翻转，但如果是圆盘可能不考虑。不过这里可能需要确认一下，但通常如果题目没有说明，可能只考虑旋转对称性，或者包括翻转。这里可能需要明确两种情况下的答案，不过可能需要根据常规做法来判断。

不过让我先回忆一下Burnside引理的基本思想，就是计算所有群作用下不动点的平均数，也就是所有可能的对称操作下保持颜色不变的排列数目的平均值。这里的对称群包括旋转和可能的翻转。

首先，假设我们只考虑旋转对称性，即循环群C6，阶数为6。然后，如果考虑翻转对称性，则对称群变为二面体群D6，阶数为12。因此，需要考虑这两种情况下的不同结果。但题目可能需要明确，但通常对于圆的问题，尤其是颜色涂色问题，可能需要考虑旋转和翻转，所以可能用D6群来计算。但需要确认。

不过让我先尝试两种情况，然后看看哪个更合理。

首先，假设只考虑旋转对称性，群的大小是6，每个旋转的角度是60度的倍数，即0度（单位元），60度，120度，180度，240度，300度。对于每个旋转操作，计算其不动点的数目，也就是在旋转后颜色排列不变的涂法数目。

然后，根据Burnside引理，不同的涂色方式数目等于所有群元素的不动点数目的平均值。

同样地，如果考虑翻转对称性，即D6群，共有12个元素，包括6个旋转和6个翻转，每个翻转轴可以是穿过两个相对的顶点或者两个相对的边的中点。这时需要计算所有12个群元素下的不动点数目，然后求平均。

不过题目可能要考虑所有对称性，即旋转和翻转，所以可能答案是使用D6群来计算。不过需要仔细分析。

首先，我需要明确题目是否允许旋转和翻转后的相同视为同一涂法。通常，如果是圆形的涂色问题，比如手链，通常会考虑旋转和翻转，即D6群，而如果是固定的圆盘，比如不能翻转，则只用C6群。但这里题目没有说明，可能需要假设包括翻转。

不过先不管这个，先尝试两种情况下的计算，看哪个结果更合理。

首先，先处理只考虑旋转的情况，即C6群。

群C6有6个元素，分别是旋转0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°。

对于每个旋转角度k×60°, 其中k=0,1,2,3,4,5，我们需要计算在旋转后颜色排列不变的涂色方式数目。

首先，旋转0°（即单位元）的情况下，所有涂色方式都是不变的，所以不动点数目就是总排列数，即90种。

接下来，对于旋转60°和300°（即k=1和k=5），这两个旋转的循环结构是将6个部分分成一个6-cycle，也就是每个部分在旋转后移动到下一个位置。因此，在这种情况下，颜色排列必须满足每个位置的颜色在旋转后相同，即所有6个位置的颜色必须相同。但是题目中每种颜色只能使用两次，因此这种情况下的不动点数目为0，因为无法让所有6个位置颜色相同。

同样地，对于旋转120°和240°（k=2和k=4），这两个旋转的循环结构是将6个部分分成两个3-cycles，每个3-cycle包含三个位置。因此，颜色必须在这两个3-cycle内部保持一致，即每个3-cycle内的三个位置颜色相同。但同样，每种颜色只能使用两次，所以如果每个3-cycle需要三个相同颜色，但颜色只能用两次，所以这种情况下的不动点数目也是0。

接下来，考虑旋转180°（k=3），这个旋转将6个部分分成三个2-cycles，即每对相对的位置组成一个循环。因此，每个2-cycle内的两个位置必须颜色相同。因此，涂色方式需要满足每对相对的位置颜色相同。这时候，我们需要将这三对位置分别涂上三种颜色，每种颜色恰好涂两等份，也就是每对颜色用一次。因此，这种情况下，涂色方式数目相当于将三种颜色分配给三个对，每个颜色恰好分配给一个对，因此数目是3! = 6种。

因此，C6群下的不动点数目总和是：对于k=0，90；k=1,2,4,5都是0；k=3是6。总和是90 + 0 + 0 +6 +0 +0=96。因此，平均数为96/6=16种不同的涂色方式。

不过这是不考虑翻转的情况，即只考虑旋转对称性下的结果，得到16种不同的涂色方式。

但可能题目需要考虑翻转对称性，所以接下来考虑D6群的情况，即包括6个旋转和6个翻转，共12个群元素。

对于D6群，除了之前的6个旋转外，还有6个翻转操作，每个翻转轴可以是通过一个顶点和其对边的中点，或者通过两个相对的顶点的连线，或者通过两对相对的边的中点。具体来说，D6群有6个反射轴：三个通过相对的顶点，三个通过相对的边的中点。

每个反射操作会将圆分成对称的两部分，因此需要考虑在反射后颜色排列不变的涂色方式数目。

首先，先处理每个反射操作的不动点数目。

对于每个反射轴，假设它通过一个顶点和其对边的中点，那么这样的反射会将圆分成三个对称对，每个对称对由两个位置组成，这两个位置在反射后交换。因此，每个对称对内的两个位置颜色必须相同。因此，涂色方式需要将这三对位置分别涂上三种颜色，每种颜色恰好涂两次，即每对涂一种颜色，所以数目是3! = 6种。但是这里需要注意的是，每个反射轴对应的对称对可能不同，但实际每个反射操作的结构是相同的，因此每个反射操作的不动点数目都是6种。

不过需要确认这一点是否正确。

例如，考虑一个反射轴通过顶点1和对边的中点，这样对应的对称对可能是位置1和位置4，位置2和位置6，位置3和位置5。因此，要使得反射后颜色不变，必须位置1=4，位置2=6，位置3=5。因此，这三个对称对需要分别涂三种颜色，每种颜色涂一对，所以数目是3! =6种。同样，其他反射轴的情况也是如此，因此每个反射操作的不动点数目都是6种。共有6个反射操作，因此总反射不动点数目是6×6=36。

接下来，再加上旋转操作下的不动点数目，之前算的是在C6群下总和为96，其中旋转180°的不动点数目是6，而其他旋转操作的不动点数目是0（除了单位元）。不过现在在D6群中，原来的旋转操作的不动点数目还是同样的，即单位元的不动点数目是90，旋转180°是6，其他四个旋转操作的不动点数目是0，所以旋转部分的总不动点数目是90+6=96，加上反射部分的36，总不动点数目是96+36=132。因此，根据Burnside引理，不同的涂色方式数目是132/12=11种。

所以，如果考虑D6群，即包括旋转和翻转的情况下，答案是11种。

不过之前算的只考虑旋转的情况下是16种，而包括翻转的情况下是11种。因此，问题在于题目是否需要考虑翻转对称性。通常，在圆排列问题中，尤其是像手链这样的问题，翻转是被视为相同的，因此需要考虑D6群。但如果是固定的圆盘，比如不能翻转，则只考虑旋转。题目中没有说明，可能需要根据惯例来判断，但通常会考虑包括翻转，所以答案可能是11种。

不过我需要再次检查我的计算是否正确，因为可能存在错误。

首先，在D6群的情况下，总共有12个群元素，包括6个旋转和6个反射。每个反射操作的不动点数目是否正确？

假设每个反射操作将圆分成三个对称对，每个对称对必须颜色相同，因此需要将三个颜色分配给三个对称对，每种颜色恰好分配一个对称对，因此数目是3! =6种。每个反射操作都是如此，因此6个反射操作每个贡献6种不动点，共计36种。

旋转部分中，单位元贡献90种，旋转180°贡献6种，其他旋转操作不动点数目为0，所以旋转部分总共有90+6=96种不动点。

总不动点数目是96+36=132，平均数是132/12=11，没错。

而如果只考虑旋转群C6，平均数是96/6=16种。

但题目是否需要考虑翻转呢？比如，如果题目中的圆是可以旋转和翻转的，那么答案是11种，否则是16种。但通常在没有说明的情况下，可能要考虑所有对称操作，即D6群，所以答案是11种。

不过，我需要再检查一下旋转180°的不动点数目是否正确。

当旋转180°时，每个位置i会移动到位置i+3（mod6）。因此，要使得旋转后颜色不变，每个位置i的颜色必须等于位置i+3的颜色。因此，颜色被分成三对：{1,4}, {2,5}, {3,6}。每对必须同色，所以需要将三种颜色分配给这三对，每种颜色用一次，因此数目是3! =6种，没错。

同样，对于反射操作，每个反射轴对应的三个对称对，需要颜色相同，所以也是3! =6种，每个反射操作都这样，所以6个反射操作贡献36种。

现在问题是，当使用Burnside引理时，是否正确地应用了这些计算。

另一个方法是直接计算不考虑对称性的情况下的数目，然后除以对称操作的数量，但这种方法通常不准确，因为不同的涂色方式可能有不同的对称性，所以必须使用Burnside引理来精确计算。

现在，回到问题，假设答案是11种，这是考虑旋转和翻转后的结果。但让我再想一下，可能我的计算有哪里出错了。

例如，当计算反射操作的不动点时，是否真的每个反射操作的不动点数目都是6种？

比如，对于不同的反射轴，对称对的位置可能不同，比如有的反射轴可能将位置分成不同的对称对，但无论如何，每个反射操作都会将圆分成三个对称对，每个对中的两个位置必须同色，因此需要将三种颜色分配给这三个对，所以数目是3! =6种，不管对称对的具体位置如何，因此每个反射操作的不动点数目确实是6种。因此，总共有6个反射操作，每个贡献6种，共计36种，没错。

因此，总不动点数目是132，除以12得到11种不同的涂色方式。

但另一个可能性是，在计算反射操作的不动点时，可能存在颜色分配的不同情况，比如如果颜色可以重复使用，但这里题目中每种颜色必须恰好使用两次，因此每个对称对必须涂不同的颜色，因为每个对称对需要涂两次，所以三个对称对需要三个颜色各涂两次，因此确实是3! =6种。

因此，综合起来，正确的答案应该是11种。

不过我需要再确认一下是否在Burnside引理的应用中没有错误，特别是在计算反射操作的不动点时。

另外，另一种方法是先计算不考虑对称性的情况下的数目，然后考虑对称性导致的重复次数，但这种方法可能比较复杂。

例如，不考虑对称性时有90种涂色方式，但每个实际的涂色方式在考虑对称性后会被计算多次。例如，如果一个涂色方式没有任何对称性（即没有旋转或反射能使其保持不变），那么它会被计算12次（D6群的阶数），因此不同的涂色方式数目为90除以12，但显然这不对，因为不是所有涂色方式都被重复计算12次，有的可能被重复更少次数，因此必须用Burnside引理。

因此，正确的做法就是使用Burnside引理，得到11种。

不过，我之前在计算旋转180°的不动点数目时是否正确？

当旋转180°时，颜色必须满足每对相对的位置颜色相同，即三个对，每个对涂一种颜色，且每种颜色恰好用一次，因此数目是3! =6种，没错。

而单位元的情况下，所有可能的涂色方式都是允许的，即6!/(2!2!2!)=90种，没错。

因此，总不动点数目是90（单位元） +6（旋转180°） +36（6个反射操作）=132，平均数是132/12=11，正确。

因此，答案应该是11种不同的涂色方式。

不过，我好像记得之前类似的题目答案有时候是考虑旋转和翻转的，所以可能这里是11种。

不过，再检查一下是否有其他可能的错误，比如在计算反射操作的不动点时是否每个反射操作都正确。

比如，对于每个反射轴，例如，假设有一个反射轴通过顶点1和对边的中点，那么对称对是（1,4），（2,6），（3,5），因此这三个对需要涂三种颜色，每种颜色涂一对，所以有3!种方式，正确。同样，其他反射轴的情况也是如此，因此每个反射操作的不动点数目确实是6种，所以6个反射操作贡献36种。

因此，最终答案应该是11种。

不过，可能还有其他方法来解决这个问题，比如使用排列组合的方式，考虑圆排列的对称性，但可能比较复杂。

例如，首先计算不考虑旋转和翻转的情况下的数目，即90种，然后尝试计算每个等价类的大小，即有多少种不同的排列通过旋转和翻转可以互相转化，然后用总数除以等价类的大小，但这种方法需要知道每个等价类的大小是否相同，这只有在没有对称性的情况下才成立，否则会有不同的等价类大小，因此必须使用Burnside引理。

因此，正确的方法就是应用Burnside引理，得到答案为11种。

Ysu2008

ChatGPT 给的答案是 15 种，难怪美国总统发火了。
百度和豆包给的答案都是 13 种。

波斯猫猫

                                        来个霸王硬上弓

王守恩

类似的题目——相同的方法。

将2颗红珠,2颗黄珠,2颗蓝珠穿成一个手镯, 有11种穿法。
01, 001122,
02, 001212,
03, 001221,
04, 002112,
05, 010122,
06, 010212,
07, 011022,
08, 011202,
09, 012012,
10, 012021,
11, 012102,
6个数,  首尾相接,从某处(有6处)断开(还有2种可能)。在这12种可能中,我们取数字最小的那串。

Ysu2008

不考虑翻面，涂色方案是以下 16 种 (首尾连接)：
[1]        112233
[2]        112323
[3]        112332
[4]        113223
[5]        113232
[6]        113322
[7]        121233
[8]        121323
[9]        121332
[10]        122133
[11]        122313
[12]        123123
[13]        123132
[14]        123213
[15]        131322
[16]        132132

考虑翻面，有 5 对涂色方案相互重合：

[1]        112233 翻面并旋转 0° 与 113322 重合;
[2]        112323 翻面并旋转 0° 与 113232 重合;
[3]        112332
[4]        113223
[5]        113232 翻面并旋转 0° 与 112323 重合;
[6]        113322 翻面并旋转 0° 与 112233 重合;
[7]        121233 翻面并旋转 60° 与 121332 重合;
[8]        121323
[9]        121332 翻面并旋转 60° 与 121233 重合;
[10]        122133
[11]        122313 翻面并旋转 300° 与 131322 重合;
[12]        123123 翻面并旋转 120° 与 132132 重合;
[13]        123132
[14]        123213
[15]        131322 翻面并旋转 300° 与 122313 重合;
[16]        132132 翻面并旋转 120° 与 123123 重合;