一道复杂的美国数学邀请赛竞赛题（见《数学期刊》）

波斯猫猫

一道复杂的美国数学邀请赛竞赛题（见《数学期刊》）

原创 Wittt ECONOMICS RULES 2025 年 01 月 02 日 00:16 重庆

题：已知：x/(4-1)+y/(4-9)+z/(4-25)+w/(4-49) =1， x/(16-1)+y/(16-9)+z/(16-25)+w/(16-49) =1，
      
         x/(36-1)+y/(36-9)+z/(36-25)+w/(36-49) =1， x/(64-1)+y/(64-9)+z/(64-25)+w/(64-49) =1，
      
       求x+y+z+w  (原题见《数学期刊》).  

思路：针对条件，显然关于t的方程  x/(t-1)+y/(t-9)+z/(t-25)+w/(t-49) =1，有根t=4，16，36，64.  

令t-25=a，则方程变为  x/(a+24)+y/(a+16)+z/a+w/(a-24) =1 ，且有根a=-21，-9，11，39.

经简单计算，可化为a^4- (x+y+z+w-16)a^3+ra^2+ea+s=0.

由韦达定理有，x+y+z+w-16=-21-9+11+39=20，即x+y+z+w=36.