数学怎么就越来越抽象了？

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数学怎么就越来越抽象了？

原创 蔡驰南 蔡爸谈数学 2024 年 12 月 21 日 15:26 浙江

数学从具体数字到函数变量，再到一些奇奇怪怪的符号，似乎越来越不容易理解了，原因在于它是一门多重抽象的学科。

而 19 世纪中叶出现的群论，直接将它抽象到了一个新高度，并以此为核心发展出了近世代数，又称抽象代数。甚至让“代数”这个词，也由“研究方程”变成了“研究代数结构”。



群论的思想在欧拉、高斯、拉格朗日等大神的数学研究中已有体现，但“群”这个术语，最早由伽罗瓦在研究多项式方程可解性问题时提出（1832 年），但这位悲情天才的理论不被人理解，直到他死后 14 年才被重新发表。然而群的抽象概念，直到 22 年后（1854 年）才由凯莱（Arthur Cayley）在论文《关于符号方程 θ^n=1 的群论》中正式提出。


从左往右：欧拉、高斯、拉格朗日、伽罗瓦、凯莱

凯莱是一位神人，年轻时很擅长数学，结果从剑桥三一学院毕业后，转身当起了律师。更神奇的是他一边当律师，一边狂发数学论文（发表了约两百五十篇论文，一生总发表数与柯西相当，仅次于欧拉）。14 年后，才正式告别律师生涯，回归学术圈，成为剑桥大学教授。

他不但是矩阵论的奠基人，还对群论的贡献很大，他的凯莱图和凯莱表能形象地解释群结构。

那究竟什么是一个群？

加法、乘法、模运算、甚至是图形的变换、现实世界中开关的闭合等等，以群论的观点看来，都只是一种运算，统一称为群乘法（不一定是算术乘法），或者二元运算（合成法则）。



但要构成群，光有运算法则还不够，得要有一个集合，而集合与这个二元运算还要满足 4 条公理，才能构成一个群。

1. 封闭性

从集合中任取两个元素，在群乘法的运算下结果仍然属于原集合。

比如整数的加法或乘法，结果仍然是整数，就满足封闭性。



2. 结合率

运算必须满足结合律，但不一定满足交换律。



3. 单位元

集合必须包含单位元，任何元素与单位元进行运算（包含左乘与右乘），结果等于那个元素自身。比如整数乘法中的 1 ，整数加法中的 0 。



4. 逆元素

每一个元素必须在原集合中存在逆元素（也称：逆元）。每一个元素与它的逆元素进行运算（包含左乘与右乘）结果等于单位元。比如整数加法中每一个数的相反数就是逆元。但是整数乘法的逆元则是它的倒数，却不一定在整数范围内，因此整数乘法无法构成群。



满足这四条公理的集合与二元运算就构成了一个群。



这样来看，全体整数在加法运算下就构成了一个群；全体有理数（除 0 外）在乘法运算下也构成了一个群。

但这些都是无限群（包含无限多个元素），数学家更关注有限群（包含有限多个元素）。

有限群可以通过凯莱图和凯莱表来展示它们的内部结构。


左侧为凯莱图，右侧为凯莱表

比如：这个三次对称群 S3 。

可以对应于现实中一个等边三角形，通过哪些变换与原图形重叠。

其中 r 表示顺时针旋转 120° ，f 表示沿某条对称轴翻转一次。我们发现操作 1 次或多次都能与原图形重叠。

如果将三角形的三个角标上数字，就清楚了这些变换本质上只有 6 种。



如果将一个群所在的集合包含的元素个数称之为“阶”。

凯莱将 15 阶以下的有限抽象群类型个数，全给列了出来。



上述案例就是一个 6 阶抽象群，而 6 阶抽象群除了上面一种之外，还有 1 种就是循环群，除此之外再无其他模式。


包含 6 个元素的抽象群，仅有这两种模式

这就带来了一个启示：有限抽象群的结构很有限。

数学家发现，很多自然界形态的变换都符合群的定义，上述案例与雪花的变换很类似。本质上因为它们都具有对称性，因此对称群就成了最重要的一类群。



凯莱继续深入研究并提出了凯莱定理：所有群 G 都与在 G 上的对称群 SG 的一个子群同构。

这意味着所有群结构的奥秘，都蕴含在对称变换中。

越抽象，越本质。

以群论为核心发展起来的抽象代数，成为强大的数学武器，它与数论、分析、几何、拓扑等分支相结合，一路披荆斩棘，在费马大定理的证明、物理学守恒量的溯源、基本粒子与宇宙结构的探索等方面，发挥出巨大作用。

它是当之无愧的“数学抽象的最高艺术”。



蔡爸谈数学