数学家们发现了球体“接吻”的新方式

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数学家们发现了球体“接吻”的新方式

一项新的证明标志着在所谓的“接吻数问题”重要案例中取得了数十年来的首次进展。达成这一成果意味着摒弃了传统的研究方法。

来源：数学家

Gregory Barber｜文

Deepseek｜编译

在三维空间中，很容易将 12 个球体围绕一个中心球体排列，使每个球体都与其在一个点上接触。但这种排列方式会在球体之间留下空隙。你能在这剩余的空间中再挤入第 13 个球体吗？格里高利认为可以，而牛顿则认为不行。

这个被称为“接吻数”问题（源于台球碰撞时的“接吻”动作）的问题，在分析原子结构、构建纠错码等领域中具有重要意义。

它也成为了一个极具挑战性的数学问题。直到 1952 年，数学家们才证明了牛顿的正确性：在我们熟悉的三维空间中，最大的“接吻数”是 12 。



然而，“接吻数问题”可以推广到任意维度的球体。在二维空间中，答案显然是 6 ：将一枚硬币放在桌子上，你会发现当你在它周围排列另外 6 枚硬币时，它们会紧密地形成一个类似雏菊花的图案。



在更高维度中，这个问题变得更加复杂。

在四维空间中，以及八维和二十四维空间中，数学家们已经能够将球体最优地排列成极其对称的晶格结构，从而解决了“接吻数问题”。但在其他维度中，由于球体之间存在更多空间，问题仍然悬而未决。数学家们转而提出了对“接吻数”的估计，计算了上下界，但这些界限往往相差甚远。在这些情况下，问题不再是你是否能添加一个额外的球体，而是你是否能添加数百、数千甚至数百万个。

为了改进这些估计，数学家们通常遵循与解决八维和二十四维问题时相同的直觉：他们寻找尽可能对称的球体排列方式。但最好的排列方式可能看起来会非常奇怪。“可能存在完全没有对称性的结构，”德国亚琛工业大学的加布里埃尔·内贝（Gabriele Nebe）说，“而且没有好的方法找到它们。”

然后，在 2022 年春天，麻省理工学院数学专业本科生李安琪（Anqi Li）决定寻找这些更奇怪的结构。在完成一个课程项目时，她提出了一个看似简单的想法，这个想法现在使她与她的教授亨利·科恩（Henry Cohn）能够改进在 17 到 21 维这一特别具有挑战性的维度范围内的“接吻数”估计。这项工作标志着自 20 世纪 60 年代以来在这些维度上首次取得进展，并展示了在潜在解决方案中引入更多无序性的好处。

“通常，你会使用一个非常对称的晶格，”德克萨斯大学里奥格兰德河谷分校的奥列格·穆辛（Oleg Musin）说，他在 2003 年证明了四维空间中的最优“接吻数”。“他们提出的方法则完全不同。”

事实上，他们的证明是最近一系列球体排列研究结果中的最新成果，这些成果之所以可能，正是因为数学家们偏离了传统方法。“‘接吻数问题’停滞不前，但并不是因为我们接近了真相，”科恩说。“我们只是卡住了。”事实证明，要摆脱困境，他们必须打破一些不成文的规则。

从编码到“接吻”

自 20 世纪中叶以来，数学家们一直依赖信息论和纠错码的数学知识，在球体排列相关问题上取得进展。

纠错码允许你发送一条即使部分内容在传输过程中被扭曲或损坏，接收者仍能理解的消息。这种编码本质上由一组“码字”组成——即可能消息的字典——接收者可以用它作为密钥来恢复原始消息。这些码字需要精心选择：它们必须足够独特，以便接收者在纠正错误时知道该使用哪个码字。


Anqi Li 在麻省理工学院（MIT）读本科时就开始研究接吻数问题（kissing problem）。她的研究为这一问题的几种情况带来了令人兴奋的进展。

数学家们通常用球体来形象化这个问题。你可以将每个码字视为一个高维空间中的点，位于一个球体的中心。如果一个充满错误的消息（当表示为高维空间中的一个点）位于某个球体内，你就知道该球体中心的码字是预期的消息。你不希望这些球体重叠——否则，接收到的消息可能会有多种解释。但球体之间的距离也不应太远。紧密排列球体意味着你可以更高效地通信。

更好的编码带来了更好的球体排列，反之亦然。例如，1967 年，数学家约翰·利奇（John Leech）使用了一种极其高效的编码——后来因 NASA 用于与旅行者探测器通信而闻名——构建了一个点阵，现在以他的名字命名。五十年后，科恩和其他几位数学家证明，你可以使用这个点阵在 24 维空间中尽可能紧密地排列球体。这个点阵还提供了最佳的“接吻”排列：每个球体与 196,560 个相邻球体接触。“利奇点阵是数学的奇迹，一切都完美契合，”科恩说。

这个点阵还为数学家们提供了 17 到 23 维空间中“接吻数”的最佳估计。他们只需对点阵进行切片，就能得到低维点阵，就像你可以通过切片三维球体得到一个二维圆一样。

但这也意味着利奇点阵在这些维度上“投下了巨大的阴影”，科恩说。无论数学家们如何尝试，他们都无法找到一种结构来提供更好的估计——尽管他们怀疑对利奇点阵进行切片并不是解决问题的正确途径。

打破常规

李安琪在 2022 年开始她的项目时，最初并没有打算寻找一条新路径。起初，科恩建议她专注于 24 维以上的“接吻数问题”。在这些维度中，目前对“接吻数”的最佳估计要粗糙得多。改进这些估计通常依赖于计算技术的进步，而不是寻找一种创造性的新方法。科恩知道其他学生已经通过基于计算机的方法在这些更高维度的情况下取得了进展。他认为李安琪也可以做到。

但她发现这项工作令人沮丧。“我有一种糟糕的感觉，好像双手被束缚住了，”她说，“根本无法想象。”于是，她决定打破常规。

她将目光投向了 17 到 23 维空间。“我告诉她，即使她探索了可能的改进方法但最终没有成功，她仍然可以得到 A ，”科恩回忆道。如果她是他的研究生，他会更努力地说服她去做其他事情。“如果他们研究一些没有希望的东西，这对他们的职业生涯不利，”他说。

但他补充说，她的努力结果“远比预期的更令人兴奋”。

她从 16 维空间开始研究。在那里，最佳的“接吻”排列来自“巴恩斯-沃尔点阵”（Barnes-Wall lattice），这是 20 世纪 50 年代通过一种优雅的纠错码发现的。（后来发现它也是利奇点阵的一个切片，而利奇点阵要到十年后才被发现。）

这种编码仅由两种不同类型的点组成，每种点都满足特定的坐标模式。

这些点的定义方式导致了一个特点：在巴恩斯-沃尔点阵（以及利奇点阵的所有高维切片）中，最常见的点类型（即球体中心）的坐标中总是有偶数个负号。这有助于确保点之间有足够的距离，并形成一个特别容易处理的对称结构。

但是，李安琪想，如果她在这些点中使用奇数个负号会怎样？如果她小心处理，这并不一定会导致球体重叠。据她所知，之前没有人尝试过这样做。“我不认为我们中的任何一个人真的认为这很重要，”科恩说。但李安琪怀疑，通过以这种方式改变点阵中的一些点，她可能能够稍微扭曲点阵，从而容纳更多的球体。

当她在 16 维空间中构建她的“奇数”版巴恩斯-沃尔点阵时，它并没有为额外的球体留下空间，但也没有使情况变得更糟。然而，当她将其复制并分层叠加成一个 17 维结构时，明显出现了可以添加新点的空隙——这些空隙中，当她计算到结构中现有球体的距离时，显然可以容纳新的球体。起初，她不敢相信。她感到不安，而不是兴奋。“我记得告诉朋友们，我肯定是在一些基本算术上出错了，”她说。

科恩最初也接受了她的怀疑——在这种计算中很容易犯小错误，尤其是在可能涉及一厢情愿的想法时。于是，他们在计算机上检查了她的新点排列。结果证明它是可行的：所有球体都正确排列。

那年夏天，李安琪作为实习生与科恩一起在微软研究院工作，他们仔细改进了所使用的纠错码，以便能够继续向李安琪的“奇数”17 维结构中添加兼容的球体。最终，他们成功地在 1967 年基于利奇点阵的估计基础上增加了 384 个新球体，将“接吻数”的下限提高到了 5,730 。

随后，他们应用类似的技术改进了 18 到 21 维空间中的“接吻数”。但在 22 和 23 维空间中，他们的策略失败了。似乎他们已经用尽了这种符号翻转的方法。

这对组合的新配置可能并不是最优的。例如，在 17 维空间中，估计的上限是 10,978 ；虽然这被认为是对真实解的高估，但它表明仍有很大的空间来改进下限。

但数学家们更感兴趣的是科恩和李安琪是如何取得这些进展的。他们的新结构与利奇点阵启发的高度对称结构截然不同。他们使用的基于编码的方法添加球体，得到了更加不规则的配置——这是全新的东西。

新的前进方向

目前尚不清楚为什么改变符号会为更多球体创造足够的空间。但它确实做到了。“我现在仍然感到不安，”科恩说。但他补充说，这项工作展示了“一个看似微不足道的变化如何开启或关闭可能性”。从这个意义上说，它揭示了数学家们对“接吻数问题”实际上知之甚少。

在构建新的纠错码和球体排列时，数学家们通常依赖对称性。这正是利奇所做的。这使得构建过程更简单、更直观。但它也可能关闭可能性，使人们难以超越一个美丽的解决方案去看到其他结构——那些可能更无序或涉及不那么直观的对称形式的结构。“也许我们离真相还很远，因为它根本没有一个人类可以理解的描述，”科恩说。

最近的一些研究结果支持了这些不那么容易理解的可能性。在过去的几年里，数学家们通过弯曲或打破通常的对称规则，在 5 维、10 维和 11 维空间中提出了巧妙的新构造。

科恩对匈牙利数学家费伦茨·绍约西（Ferenc Szollosi）的工作特别感到惊讶。绍约西故意从四维空间中的一个次优球体排列开始，并在此基础上构建，以匹配五维空间中现有的最佳估计。几十年来，有两个结构生成了这个估计；大多数数学家认为不可能有其他结构。突然，绍约西提出了第三个结构。（他后来发现另一对研究人员也发现了这个配置，但他们没有认识到它的重要性。）“这证明了你可能会被惊讶到，”科恩说，他随后受到启发，与他的另一个学生合作找到了第四个结构。

他们发现的每一个不寻常的结构都为他们提供了“关于真相可能是什么的小提示和线索，”他补充道。“‘接吻数问题’仍然充满了谜团。”

更正：（2025 年 1 月 16 日）

费伦茨·绍约西的结果也被另一对数学家独立发现。文本已更新以提及那项工作。

原文链接：

https://www.quantamagazine.org/m ... s-to-kiss-20250115/

本文译自 Quanta Magazine ，转自“数学家”公众号。“数学大院”编辑整理发布。

数学大院 2025 年 02 月 01 日 18:01 北京