弗里杰什·里斯：泛函分析的先驱，匈牙利数学的领路人

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弗里杰什·里斯：泛函分析的先驱，匈牙利数学的领路人

原创 关注全球科研的 科学方程式 2025 年 01 月 22 日 16:40 江苏

长久以来，在数学的版图之上，法国、俄罗斯凭借深厚底蕴与卓越传承，稳居数学强国之列。而匈牙利，这个国土面积与人口规模并不起眼的国度，却能在众多国家中脱颖而出，与前两者并肩，被公认为数学界最强的三个国家之一，着实令人惊叹。


被戏称为“布达佩斯火星人”的匈牙利裔天才大师们

回溯过往的一百多年，匈牙利宛如一座源源不断的智慧宝库，孕育出一批又一批在全球数学领域举足轻重的人物。正是他们的不懈努力与卓越成就，让匈牙利在数学界站稳脚跟，进而赢得了无可争议的地位 。

今天，让我们轻拨时光的指针，将目光投向 19 与 20 世纪交替之际。此时，匈牙利数学已悄然显露蓬勃发展的态势，一批年轻的匈牙利数学家崭露头角，而弗里杰什·里斯（Frigyes Riesz）便是其中最为耀眼、炙手可热的明星之一。他不仅是泛函分析的开创者，还在拓扑学、函数空间等诸多数学领域刻下了难以磨灭的深刻印记。他的成就，不仅在数学领域书写了壮丽篇章，更为整个匈牙利数学界开拓了全新的视野，引领一代代匈牙利科学家，走向辉煌。

NO.1  创新与严谨：德国数学体系孕育的研究者

这位泛函分析领域先驱的故事开始于 145 年前的今天—— 1880 年 1 月 22 日，在匈牙利杰尔城中的一个医生家庭中，里斯呱呱坠地。


著名数学家里斯兄弟弗里杰什和马塞尔的出生地

19 世纪末的匈牙利，处于奥匈帝国的统治之下，这片土地深受德国数学体系的影响，逐渐形成了崇尚抽象思维和精确表达的数学传统。匈牙利独特的教育体系，通过杂志分级难题、数学竞赛培养学生的数学兴趣，吸引年轻人投身数学研究。年轻的里斯也在这种学习氛围中升起对数学的热爱和挑战难题的激情。


里斯在哥廷根时受大卫·希尔伯特（David Hilbert）和赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）影响，在布达佩斯时受柯尼希·德纳什（Dénes Konig）和约瑟夫·库尔沙克（József Kürschak）指导。

里斯曾在苏黎世联邦理工学院、哥廷根大学求学，并于布达佩斯大学获得博士学位，在巴黎和哥廷根等地深造。他的导师们秉持着独特的教育理念，崇尚问题驱动式学习，鼓励里斯大胆凭数学直觉感知问题本质，并将其转化为严谨的数学证明。这种教育方式也让里斯在后来的数学研究中能够兼顾创新与严谨。

NO.2  传承与突破：多领域拓荒的创新者

除了为他人的重要发现提供新颖证明与优化改进，里斯还为数学领域贡献了诸多具有深远意义、值得铭记的定理。他的学术成就收录在《里斯文集》中，这份 1600 多页的文集汇集了他的大部分研究成果，我们可以将所收集到的论著分为拓扑学、函数空间、泛函分析、遍历理论等九大部分。

他最著名的一大研究成果是 1907 年提出的里斯-菲舍尔定理，这条定理在数学领域尤其是泛函分析中具有举足轻重的意义。定理证明了平方可积函数空间的完备性，奠定了函数空间理论基础，让我们对函数空间结构有了更完善的认知。同时，还打通了测度论与泛函分析这两个数学分支的联系，也推动了傅里叶分析的发展。


虽被命名为里斯-菲舍尔定理，但这条定理实属为纪念两人各自独立同时发现了这一定理。里斯于 1907 年 3 月 18 日在他给巴黎科学院的注记中提出了这条定理，而菲舍尔则是在同年 3 月 5 日的专题讲座中讲解了该定理。

在实际应用层面，其意义同样不可忽视。它是关于抽象希尔伯特空间的一个核心结果，证明薛定谔波动力学和海森堡矩阵力学等价性的一个重要工具，为其数学基础提供关键支撑，帮助物理学家准确描述和预测微观世界现象。它为处理平方可积信号提供了坚实理论支撑，推动着信号处理技术的革新。

里斯另一大贡献是里斯表示定理。它在希尔伯特空间连接空间与对偶空间，简化连续线性泛函与向量关系，助力变分问题求解。在测度论拓展函数概念，为广义函数研究奠基。在物理学中，助力理解量子态测量与演化，为电磁学等物理量计算和理论分析提供新思路。


里斯表示定理实际上有很多条，在数学界一直受到了极大赞扬，它是 19 世纪分析与综合相弥合一个典型案例。得益于阿达玛、里斯及一大批数学家的坚持，我们如今才能看到如此简洁的结果。

里斯在泛函分析领域的奠基工作影响深远，他的贡献还包括紧致线性算子理论、希尔伯特-施密特积分方程研究以及被称为里斯空间的向量格研究等等研究。而如今称作“泛函分析”的许多内容，早在里斯 1931 年的第一本著作和他的主要论文中得到首次论述。他与自己的学生塞可佛尔维-纳吉（Béla Szokefalvi-Nagy）合著的《泛函分析讲义》系统全面，涵盖了泛函分析的基本概念、理论和方法，至今仍是适合初学者的经典入门教材。

除了泛函分析先驱这一身份，里斯也可以被称作一般拓扑学家或者积分论早期开创人，或者是位对遍历理论、复变函数论等领域作出过重大贡献的数学大家。他的里斯分解定理及对勒贝格积分理论的拓展，完善了数学分析，引入的拓扑空间概念也奠定拓扑学基础……如今，数学家和科学家们，依然在广泛使用里斯创造的工具和方法，这足以证明他的贡献跨越时空，历久弥新。

NO.3  合作与交流：桃李天下的数学先驱

一战结束后，因为《特里亚农条约》的签订，失去大片领土的匈牙利为了维持匈牙利高等教育体系的完整性，于 1920 年将里斯任职的科洛斯堡大学迁往塞格德，随着前往的里斯也开启了数学旅程中的一个重要节点，他在国际数学圈的交流与互动开始频繁。他与阿尔弗雷德?哈尔（Alfréd Haar）二人携手合作，参与创办了意义非凡的波尔约数学研究所（Bolyai Institute），为当时众多领域内的研究人员提供了一个汇聚与探索的优质平台。


照片拍摄于 1928 年——数学研究所合照

在研究所成立和创办期刊期间，里斯获得了许多数学家的推荐与帮助，这充分体现他当时在国际数学界较高的学术地位。1930 年前后的塞格德，可以说是世界上研究经典函数论和泛函分析水平最高的地方。

里斯还与哈尔一同创办了研究所的机关刊物、匈牙利首本国际认可的数学期刊《数学科学学报》（Acta Scientiarum Mathematicarum），并兼任期刊编辑。


《数学科学学报》首期封面

在他的精心运作和众多学者的共同努力下，期刊迅速在国际上崭露头角，很快便成为了数学领域研究人员不可或缺的主要参考资料。期刊刊载了众多杰出科学家的研究，涵盖约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）、诺伯特·维纳（Norbert Wiener）等多位大师的杰作。里斯本人更是在这本期刊中发表了许多有关函数论、泛函分析等多个领域中极具价值的论文，为后来者的研究探索提供了宝贵的借鉴与指引，这本期刊至今仍是世界一流的数学期刊。此外，他还开设了《函数运算》讲座，参与 1932 年苏黎世国际数学家大会（ICM）等活动并发表学术演讲，此后又发表多篇论著，以自身行动推动匈牙利数学走向国际化。

在教学与人才培养方面，里斯同样成绩斐然。他培养的众多学生，如扬诺斯·阿采尔、史蒂文·高尔、蒂博尔·拉多、阿尔弗雷德·雷尼等等都在各自多个领域大放异彩。



性格开朗的里斯还是一个社交达人，他精通德意法英等多国语言，与其他数学家的合作在数学史上也具有深远影响。里斯与他的弟弟——关注实际计算问题和应用的著名数学家马塞尔·里斯（Marcel Riesz），两人的研究方向有所不同，但能通过思想交流实现理论互补，推动彼此领域的学术发展。此外，他与斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）的工作也是相辅相成，为现代数学奠定了重要基础。他的希尔伯特空间理论为冯·诺伊曼进一步发展算子理论和量子力学提供了基础，二人的学术互动也为数学发展带来了新的思路。


里斯曾获得 1949 年匈牙利国家最高荣誉之一的科苏特奖，同时也是匈牙利科学院和法国科学院的通讯院士。

NO.4  辉煌与传奇：引领匈牙利数学不断蓬勃发展

里斯在数学领域的创新性成果，如同一座座丰碑，屹立在数学发展的历史长河中。他虽并非某些重要成果的代表性提出者，但他的研究工作却如基石般，为这些重要成果的诞生奠定了不可或缺的基础。

他堪称隐匿于辉煌背后的关键数学家，以自身的真知灼见为身后的一代人留下了一种数学特有的清晰和简练的治学风格，宛若灯塔般照亮后来者的探索之路。这份宝贵遗产所蕴含的价值，丝毫不亚于他提出的定理及其精妙证明，共同构成了数学发展长河中熠熠生辉的瑰宝。

此后，一代又一代的匈牙利数学家前赴后继、不懈努力，拓展人类智慧的边界。他们在数学的征程中镌刻下深刻辙印，铸就匈牙利数学的全新传奇，开创人类文明的无尽可能。



参考资料：

Hersh R , John-Steiner V .A visit to Hungarian mathematics[J].The Mathematical Intelligencer, 1993, 15(2):13-26.DOI:10.1007/BF03024187.

穆蕊萍.里斯表示定理前史的探析[J].西北大学学报：自然科学版, 2013, 43(5):4.DOI:10.3969/j.issn.1000-274X.2013.05.029.

https://euromathsoc.org/magazine/articles/113#idm36

https://mp.weixin.qq.com/s/sFyeMdQW906rEKrI7sTspA

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