x^6+ax^5+…+ex+f=0的根为ω=e^(πi／7),ω^3,ω^5,ω^9,ω^11,ω^13，求 a+b+c+d+e+f

波斯猫猫

题：令ω=cos(π/7)+isin(π/7)，以ω，ω^3，ω^5，ω^9，ω^11，ω^13为

根的方程为x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0，求a+b+c+d+e+f.

思路：考虑x^7=-1，即x^7=cosπ+isinπ的根.

显然，x=cos[(π+2kπ)/7]+isin[(π+2kπ)/7]，其中k=0，1，2，...，6.

∵ x^7+1=(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)，

∴ 以ω，ω^3，ω^5，ω^9，ω^11，ω^13为

根的方程为x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1=0(这里没有k=3，即没有ω^7)，

∴ a+b+c+d+e+f=0.