被当成间谍的数学家

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被当成间谍的数学家

原创 蔡驰南 蔡爸谈数学 2025 年 01 月 17 日 15:45 浙江

他曾经的梦想是加入军队，结果因高度近视被拒，退而求其次才进入大学攻读数学；而当他投身数学研究时，却不幸遭遇战争，结果被当成间谍投入监狱。他就是李群和李代数的创始人——挪威数学家索菲斯·李（Marius Sophus Lie）。



他年轻时长得人高马大，是一位徒步达人，每天可以走 80 公里（50 英里），出行基本靠走，一言不合就穿越国境暴走上百公里。

李大学毕业，因为兴趣广泛，竟一时困惑，不知该从事何种职业，天文学家、物理学家、植物学家、动物学家他都考虑过，直到 1868 年他接触了射影几何，并被其深深吸引后，才下定决心当一位数学家，而且他后来在数学上的奇思妙想大都和几何有关。

一年后，他就发表了一篇关于射影几何的论文，并获得政府的游学资助。于是他先来到了柏林，在那里遇到了年龄相仿的几何学家克莱因，两人成为挚友。



学习了一年，李又前往巴黎继续游学，没多久他和克莱因在巴黎再次相逢。他跟随微分几何学家达布（Gaston Darboux），同时又听了若尔当关于群论的课程，从此，他开始将几何与群的变换结合起来研究。



结果就在这一年（1870年）普法战争爆发，身为普鲁士人的克莱因不得不离开巴黎。没过多久，李也打算从巴黎徒步前往瑞士，结果在距离巴黎约 40 公里（25 英里）的枫丹白露，有着日耳曼血统的他被当作普鲁士间谍抓了起来。

幸好他的老师达布介入，说服了当局，那些查获书稿上密密麻麻的符号是数学推演而非军事机密，李才得以获释。

在李之前，数学家研究的群大都是有限群（群所在的几何包含有限个元素的），比如一个正三角形通过怎样的变换可以和原三角形完全重叠，这种变换仅限于 6 种。而且这种变换还是离散的，因为只有转动特定的角度才能实现完全重叠（比如 120° 、240° 等）。


一个正三角形通过怎样的变换可以和原三角形完全重叠，这种变换一共只有 6 种

那么如果在二维平面上，一个正三角形可以通过任意变换出现在新的位置，那么这些变换（平移+旋转+翻转）是否也构成了一个群。

答案是肯定的，因为这种变换也满足群公理：封闭性、结合律、单位元、逆元素。

只是这些变换是无限且连续的；这与之前所研究的有限且离散的群不同，这相当于将数学分析引入到了群论中。



这样的连续变换群就是李群。

更重要的是李找到了一种看待几何的新方式：几何是由在群变换下保持不变的东西来定义的。

那么上述连续变化中什么是不变的？

答案是：图形中任意两点间的距离。

因此这种变换又叫等距变换，这类群叫欧几里得等距变换群。

而恰好是这种等距变换，用黎曼几何的角度来看就是等度规，或者叫做微分同胚。

这一刻，仿佛隧道被来自两个方向的人们给打通了：一边是李用群论的观点解释了几何；一边是黎曼用微分几何的语言描述了流形。结果他们在做同一件事情。

因此，李群既是一个群，也是一个流形。



李发现了李群的群结构可以“线性化”。李群所在的弯曲流形可以被替换为一个平直的欧几里得空间，这个空间就是流形的切空间。

就像一条函数曲线，在某段无穷小处可近似看成该处的切线一样。

因此，这种“无穷小”版本的群，描述了非常接近恒等变换的变换有怎样的表现，它具备一个属于自身的代数结构，被称为李代数。它和群的维数相同，但是它的几何形式简单得多，是平坦的。

而李代数上的代数操作不是相乘 AB ，而是换位子（求 AB – BA 的差），在物理学中被称为对易子，记作 [A,B] 。



通常情况：[A,B]=-[B,A] ，体现了李群是反对称性的。

此外还有：[A[B,C]]+[C[A,B]]+[B[C,A]]=0 。

对于像 SO(2) 这样满足 AB = BA 的群，换位子等于 0 。但对于三维线性空间上的旋转群 SO(3) 这样的群，除非 A 和 B 的旋转轴重合或者相互垂直，否则 AB – BA 不会为 0 。所以群的几何特征在对易子的表现中得到了体现。

李的研究震惊了数学界，从此人们开始深入探索连续变换群以及几何的“群化”。

1872 年，李获得了全职教授的职位（克里斯蒂安尼亚大学），相比半个世纪前同为挪威数学天才的阿贝尔，他要幸运的多。



此时他又全力投入到另一项研究中去，那就是求解微分方程问题。方程分为代数方程和微分方程。前者已经由伽罗瓦进行过研究；于是，李希望用连续群来替代伽罗瓦理论中的有限置换群，来实现对微分方程的研究。

李给自己提出了一个重大的问题：是否存在一种类比于伽罗瓦的代数方程理论的微分方程理论？是否存在某种方式来判定一个微分方程什么时候可以用特定的方法求解？

问题的关键又一次回到了对称性。李如今意识到，他在几何上得到的一些结果可以重新用微分方程的语言来阐释。一旦有了某个特定微分方程的一个解，李就可以对它施加（来自某个特定的群的）某种变换，然后证明结果同样是方程的一个解。从一个解可以得到很多个解， 全部由这个群关联起来。换言之，这个群是由微分方程的对称组成的。

20 世纪初，随着“微分域”理论的诞生，李建立微分方程版“伽罗瓦理论”的梦想终于成为现实。

李群与李代数，不仅促使了几何学的第五次变革——几何的“群化”；更是在现代物理学中发挥了重要作用，它们常常与物理系统中的对称性有关。

世界是流变的，无论在数学中，还是在现实中，能在变化里找寻到不变量，都具有非凡的意义。

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蔡驰南 蔡爸谈数学

天山草

看了这些大数学家的传记和他们研究的东西，我方知道自己对数学是啥东西原来是一窍不通，啥也不懂。