他也许是有史以来最富有想象力的数学家

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他也许是有史以来最富有想象力的数学家

作者：约翰·德比希尔

转载自公众号：图灵新知


黎曼并没有满足于一次几何学变革，1854 年，他宣读的令人震惊的特许任教资格论文《关于几何基础的假设》引发了第四次几何学变革。黎曼在其中构建了整个现代微分几何，提出了 60 年后被阿尔伯特·爱因斯坦用作广义相对论框架的数学。

1893 年，希尔伯特给出了零点定理。从 19 世纪中期开始，几何学又发生了三次变革。只有最近一次（即第五次）变革是由代数引发的，而第三次变革和第四次变革则在 20 世纪对代数学产生了深远的影响。

第三次变革和第四次变革都是由伯恩哈德·黎曼引发的，他也许是有史以来最富有想象力的数学家。

1851 年，黎曼在哥廷根大学的博士毕业论文中提出了黎曼曲面，这是自相交曲面，在研究某些类型的函数时，它可以代替复平面。

当我们认为函数作用在复平面上时，黎曼曲面就出现了。例如，复数 -2i 位于原点下方的负虚轴上。如果把它平方，我们就得到 -4 ，这个数位于原点左侧的负实轴上。我们可以这样想象：平方函数把 -2i 沿逆时针方向旋转 270° ，使其到达它的平方 -4 处。

黎曼就是这样想象平方函数的。取整个复平面，从原点出发向无穷沿一条直线割开，抓住开口的上半部分，把它以原点为中心沿逆时针方向旋转，把它拉伸整整一圈。此时，你抓住的一端在拉伸面的上方，而开口的另一端在拉伸面的下方。让开口一端穿过这个面（你得想象复平面不仅是可以无限拉伸的，而且要想象它可以像雾一样穿过自身）与原来的开口重新连接。此时，你脑海中的图像有点儿像图 13 - 4。这就是作用在 C 上的平方函数的图像。



当我们从反函数的角度看黎曼曲面的时候，黎曼曲面的威力就显示出来了。在数学上，处理反函数有点儿麻烦。取平方函数的反函数，即平方根函数。其中的问题是任意非零数都有两个平方根。4 的平方根是多少？答案是 2 或者 -2 。2 和 -2 的平方都是 4 。我们没有办法回避这个问题，但是，黎曼曲面提供了一个更精巧的方法来解决这个问题。

例如，-1 的平方根是 i 或 -i 。黎曼之前的数学家可能会用类似图 13 - 5 的图像来描绘这种陈述。



然而，如图 13 - 4 所示的黎曼曲面，把所有复数都成对地堆放，一个在上，一个在下。（沿着“折痕”的复数除外，然而，折痕的位置是任意的，而且如果允许使用确实需要的四维空间来画这幅图，我就可以让折痕消失。）

这表明图 13 - 6 是另一种思考平方根函数的方式。我们通过考虑平方函数给出的黎曼曲面实际上是解释平方函数的反函数（即平方根函数）的完美方法。-1 有两个平方根，它们是一条直线穿过黎曼曲面得到的两个点。



黎曼引发的这次变革的重要性在于它为函数论（属于分析学）与拓扑学（这是几何的一个分支，当黎曼提出这一切的时候，它刚刚开始出现）之间搭建了一座桥梁。

我在这里只想说，黎曼创造的分析 – 拓扑桥梁开创了使用 20 世纪发展起来的代数几何和代数拓扑的精巧工具研究函数论的局面。其中一个核心定理是黎曼 – 罗赫定理，这个定理把一个函数的解析性质与对应的黎曼曲面的拓扑性质联系起来。理查德·戴德金和海因里希·韦伯于 1882 年合作发表了一篇论文，在这篇论文中，他们把理想理论应用到黎曼曲面，发现了黎曼 – 罗赫定理的一个纯代数证明。（事实上，在此前的 140 年里，黎曼 – 罗赫定理很有可能以其更一般的形式为数学家带来了比其他任何定理都多的研究。）

黎曼并没有满足于一次几何学变革，1854 年，他宣读的令人震惊的特许任教资格论文《关于几何基础的假设》引发了第四次几何学变革。黎曼在其中构建了整个现代微分几何，提出了 60 年后被阿尔伯特·爱因斯坦用作广义相对论框架的数学。

在研究黎曼曲面时，代数结果是间接的。黎曼的论文给出了20 世纪的关键概念流形的原型。流形是一个“局部平坦”的任意维空间，也就是说，它在小范围内可以被近似看成普通的欧几里得空间，这就像在日常生活中，我们可以把地球的弯曲表面看成平面一样（图 13 - 7）。流形成为 20 世纪代数几何中的关键概念。（流形的德文是“mannigfaltigkeit”，事实上这个词是由黎曼创造的，但不是在这篇论文中提出的。）



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蔡爸谈数学 2025 年 01 月 10 日 10:33 浙江