请看这些数论中未解决的问题，试做采撷数学王冠上珍珠的幸运儿

小草

在a1,a2,a3,...,an,an=n^2或an=n*(n+1)的n个连续数列中必然存在各一个素数.

文/施承忠

对于整数
n≥2，定义：
数列A_n：
首项为 n(n−1)+1，末项为 n^ 2，共 n个连续自然数，即
A1={n(n−1)+1,n(n−1)+2,?n^2}
数列B_n：
首项为 n^2+1，末项为 n(n+1)，共 n个连续自然数，即
A 2={n^2+1,n^2+2,…,n(n+1)}

求证：
A_n和B_n中至少各存在一个素数.
证明过程

步骤 1：运用引理1证明A_n中至少存在一个素数.
证明B_n内必有一个素数：
引理 1： n≥2，
一、素数定理推论的理论基础
素数定理表明，当x→∞时，素数计数函数π(x)∼ x/lnx，其推论 “区间 [x,x+√x]内存在素数” 的严格成立范围，
根据 Baker-Harman-Pintz 定理（2001 年），证明了对足够大的x，区间[x,x+x^0.525]内必有素数，而当x进一步增大时，区间可缩小至[x,x+√x]。
但具体到 [x,x+√x]的严格 “足够大” 范围，目前数论中常用的界定如下：
二、“x足够大” 的具体数值范围理论界定通过对素数定理误差项的估计，当x≥x0时，[x,x+√x]内存在素数，其中x0的经典估为：
x0=10^10（基于早期素数分布误差分析的保守估计）。
更精确的结果显示，当x≥25时，区间[x,x+√x]内存在素数，但需结合小值验证排除例外。
小值验证补充
对x<25的情况，直接枚举验证：x,[x,x+√x]素数存在性
1      
[1,2]
素数 2 存在
2      
[2,3.414]
素数 2,3 存在
3      
[3,4.732]
素数 3 存在
4      
[4,6]
素数 5 存在
B_2=[5,6]
素数 5 存在
5      
[5,7.236]
素数 5,7 存在
6      
[6,8.449]
素数 7 存在
7      
[7,9.645]
素数 7 存在
8      
[8,10.828]
素数 不存在
9      
[9,12]
素数 11 存在
B_3=[10,12]
素数 11 存在
10      
[10,13.162]
素数 11,13 存在
11
[11,14.317]
素数 11,13 存在
12
[12,15.464]
素数 13 存在
13
[13,16.606]
素数 13 存在
14
[14,17.742]
素数 17 存在
15
[15,18.873]
素数 17 存在
16      
[16,20]
素数 17,19 存在
B_4[17,20]
素数 17,19 存在
17
[17,21.123]
素数 17,19 存在
18
[18,22.243]
素数 19 存在
19
[19,23.359]
素数 19,23 存在
20
[20,24.472]
素数 23 存在
21
[21,25.583]
素数 23 存在
22
[22,26.690]
素数 23 存在
23
[23,27.796]
素数 23 存在
24
[24,28.899]
素数 不 存在
25      
[25,30]
素数 29 存在
B_5=[26,30]
素数 29 存在

发现例外：
当x=8时，[8,10.828]内无素数,x=8不满足条件；x=24时，[24,28.899]素数 不 存在，但都不属于B_n.

因此B_n结合理论与枚举，当x≥25时，可确保[x,x+√x]内存在素数，而x<25时验证了B_n内都存在素数。
结論1
B_n中至少存在一个素数。

证明A_n内必有一个素数
对A_n，使用反方向的素数分布定理：
对于区间[x&#8722; √x,x]（x足够大），利用素数定理的对称性质，可证明当 x足够大时，该区间内也存在素数。
当x≥25时，区间[x-√x,x]内存在素数，但需结合小值验证排除例外。
小值验证补充
对x<25的情况，直接枚举验证：x,[x-√x]素数存在性
1
[0,1]
素数 不 存在
2
[0.586,2]
素数 2 存在
3
[1.268,3]
素数 2,3 存在
4
[2,4]
素数 2,3 存在
A_2=[3,4]
素数 3 存在
5
[2.764,5]
素数 3,5 存在
6
[3.551,6]
素数 5 存在
7
[4.354,7]
素数 5,7 存在
8
[5.172,8]
素数 7 存在
9
[6,9]
素数 7 存在
A_3=[7,9]
素数 7 存在
10
[6.838,10]
素数 7 存在
11
[7.683,11]
素数 11 存在
12
[8.536,12]
素数 11 存在
13
[9.394,13]
素数 11,13 存在
14
[10.258,14]
素数 11,13 存在
15
[11.127,15]
素数 13 存在
16
[12,16]
素数 13 存在
A_4=[13,16]
素数 13 存在
17
[12.877,17]
素数 13,17 存在
18
[13.757,18]
素数 17 存在
19
[14.641,19]
素数 17,19 存在
20
[15.528,20]
素数 17,19 存在
21
[16.417,21]
素数 17,19 存在
22
[17.310,22]
素数 19 存在
23
[18.204,23]
素数 19,23 存在
24
[19.101,23]
素数 23 存在
25
[20,25]
素数 23 存在
A_5=[21,25]
素数 23 存在

因此A_n结合理论与枚举，当x≥25时，可确保[x-√x,x]内存在素数，而x<25时验证A_n内都存在素数。
结論1
A_n中至少存在一个素数。

步骤 2：综合结论
由引理 1 可知，对于任意n≥2，数列 A_n和 B_n中分别至少存在一个素数。
证毕。

小草

在a1,a2,a3,...,an,an=n^2或an=n*(n+1)的n个连续数列中必然存在各一个素数.

文、施承忠



证：
我们有这样两列数列；
数列(1)1,2,3,...,n.
数列(2)a1,a2,a3,...,an,an=n^2或an=n*(n+1).
它们都是连续自然数.
因为π(x)与x的根号中的素数有关，所以数列(2)中任一个数的最小素因子一定存在于数列(1)中的某一个数中.
我们将数列(2)中的每一个数进行移位整理，使得数列(2)中每一个数的最小素因子都与数列(1)中的每一个数一一对应.因为数列(2)中的合数素因子最多只能有n-1个可对应，必然有一个要与1对应，而这个数的最小素因子只能是1，所以它必然是素数，当素数个数大于1时必然要与大于1的数对应.
证毕.

cuikun-186

采撷数学王冠上珍珠的幸运儿!