已知三角形的内心到三顶点距离分别是4，3，2，求内切圆半径分别为1和1/2时三角形的...

波斯猫猫

已知三角形的内心到三顶点的距离分别是4，3，2，求内切圆半径分别为1和1/2时三角形的周长(用根式表示)。

天山草

当三角形的内心到三顶点的距离分别是 4，3，2 时， 内切圆的半径和三角形的周长就都唯一地确定下来了：

r = 1.364244825771394479777073181894818056307205499730520283774481776936709463849746578580798486583203675

L = 15.78900080747570150405347291767871981526000340024036146527141088694148910118078154709188775479581811

ataorj

6条切线两两合并，你那样最多只能确保4条完成合并

波斯猫猫

已知内心到三角形三顶点的距离分别为a，b，c，设内切圆半径为r，
显然，其周长的表达式为f(r)=2[√(a^2-r^2)+√(b^2-r^2)+√(c^2-r^2)].
此表明：
∵  0＜r＜min{a，b，c}，∴ 其周长随着r的不同而不同. 特别地，在没有给出r
的条件时，欲求周长，只能求出满足方程
2abcr^3 + (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)r^2 - a^2b^2c^2 = 0的r，且
r∈(0，min{a，b，c}).
结论：在给出a，b，c时，再给出r，是充分条件，并非必要条件。

Ysu2008

天山草 发表于 2025-2-16 15:32
当三角形的内心到三顶点的距离分别是 4，3，2 时， 内切圆的半径和三角形的周长就都唯一地确定下来了：

...

已知内心到三个顶点的距离分别为 4 ,3 , 2，则内切圆半径为

精确的根式形式（注意有虚数单位 \(i\)，看着像复数，其实是实数。额，实数就是复数。）：
\(r\ =\ \frac{1}{36}\left( \sqrt[3]{52955-i432\sqrt{261039}}+\sqrt[3]{52955+i432\sqrt{261039}}-61\right)\)

精确的三角形式：
\(r\ =\ \frac{61}{18}\cos\left( \frac{1}{3}\arctan\left( \frac{432\sqrt{261039}}{52955}\right)\right)-\frac{61}{36}\)

以及足够精确的小数形式：
\(r\ =\ 1.364244825771394479777...\)