颠覆数学大厦的52个思想实验[长期连更]

门外汉

(第30节）思想实验（十一）：存在半径为无穷大的圆吗？
实验设定：建立一个平面直角坐标系，以坐标系的原点Ｏ为圆心，以X轴的正半轴某一点为半径做圆，可以做无数个同心圆，问题是：在所有的同心圆中，存在最大的圆吗？存在半径为无穷大的圆吗？
对于此类问题，欧氏几何的解答会陷入于自相矛盾之中，首先，欧氏几何认为不存在半径为无穷大的圆。
假如在欧氏几何中，存在半径为无穷大的圆，便会引发自相矛盾：因为如果圆的半径为无穷大，则圆的直径也为无穷大，圆的周长也为无穷大，则根据欧氏几何的观点，所有无穷大都是相等的，则圆的半径与圆的直径相等，圆的周长与圆的半径和直径相等，圆周率也就此失效，这是一个非常明显的逻辑矛盾。
而且，假设欧氏几何中存在半径为无穷大的圆，则从圆周的任意一点断开，将圆延展成一条直线，则断开处便是此直线的首端和尾端，也即是该直线可以确定两个端点，这与《相对几何》的论点不谋而合，但在欧氏几何中却是一个矛盾。
其次，如果说欧氏几何中不存在半径为无穷大的圆，则所有的同心圆半径都是有限的，那么问题是：所有的同心圆中，存在最大的圆吗？
欧氏几何对此的回答一定是：不存在最大的圆，因为假设存在最大的圆，假设这个最大圆的半径为a，则从原点至a+1为半径同样可以做一个圆，说明不存在最大的圆。
但是，“不存在最大”是无限的一个重要标志，既然不存在最大，所以圆的半径可以无限扩张，则圆的半径可以变得无限大，这又与不存在半径为无穷大的圆自相矛盾。
总之，欧氏几何对于此类问题会陷入于自相矛盾之中无法自拔，从而说明欧氏几何自身便存在难以解决的逻辑矛盾。
而《相对几何》对于此类问题的回答是：存在半径为无穷大的圆，假设该圆的半径为Ｐ（无穷大数ω），则该圆的直径为2Ｐ（2ω），并且该圆的周长大于直径大于半径。这里便不存在逻辑矛盾。
而且，在《相对几何》中，虽然存在半径为无穷大的圆，但该圆并不是最大的圆，仍然存在比该圆更大的圆，例如存在半径为2ω的圆，它的直径为4ω。
在此例子下，可以看出《相对几何》对比于欧氏几何所体现出来的具大优势，那就是：欧氏几何在无限的处理上自相矛盾，无法自圆其说，而《相对几何》的优势便是无矛盾性与逻辑自洽。

门外汉

（第31节）思想实验（十二）：有限线段覆盖无限射线悖论
思想实验设定：
设一条射线，设所有自然数将该射线划分为无穷多段，每个相邻的自然数之间相隔1米，也就是射线上每段的长度为1米。
    再设有无穷多个长度为1米的红色线段，首尾相连覆盖在射线上，问:这无穷多条红线段能完全覆盖射线吗？
对于此问题，欧氏几何的解答会陷入于自相矛盾之中：
    第一种情况：假设无穷多条红线段不能完全覆盖射线，因为无穷多条红线段首尾相连的长度为无穷大，则射线的无穷长度比红线段的无穷长度更长，而在欧氏几何之中，所有的无穷长度皆相等，所以这一结论在欧氏几何之中是矛盾的。
    第二种情况：假设无穷多条红线段能够完全覆盖射线，因为任何一条红线段都有两个端点，所以无穷多条红线段首尾相连也有两个端点，则可以据此找出射线的第二个端点。
这一结论倒是与《相对几何》的观点不谋而合，但是在欧氏几何中，射线只有一个端点，没有第二个端点，所以这一结论在欧氏几何中也是矛盾的。
综上所述，欧氏几何无论是回答能或者是不能，都自相矛盾。
《相对几何》对于此问题的解答是：无穷多条红色线段究竟能不能完全覆盖射线，要根据定义的不同来判断。
在《相对几何》中，可以证明存在不同长度的射线，为了解答此问题，我们先设定一个“基准射线”，然后根据不同定义来判断无穷多条红色线段能否完全覆盖射线。
这个基准射线的设定为：用所有的自然数将该射线划分为每段1米的无穷多段，该射线的第一个端点为O，第二个端点为P，O与P之间的距离为无穷大数ω。
在此设定之下，无穷多段1米长的红线段可以完全覆盖射线，而且红线段的总长度与该射线的长度相等。
在此设定之下，无穷多条红线段首尾相连，存在最后一条红线段，最后一条红线段的端点即为整条无穷长红线段的第二个端点，该端点与射线OP的第二个端点P点重合。
如前所述为基准射线，假设另一条射线的长度比基准射线的长度更长，例如长度为ω+1（P点延长1米），则无穷多条红线段不能完全覆盖射线。
《相对几何》对于此问题的处理不存在逻辑矛盾。

门外汉

（第32节）思想实验（十三）：莫名其妙的“端点消失论”
思想实验设定：一条1米长的线段AB，令线段AB无限延长，会发生什么情        况？
欧氏几何对于此问题的解释是：线段AB在无限延长的过程中，如果AB的长度是有限的，则B点始终都在，但如果AB的长度变成了无限的，则B点便会神秘消失。
之所以欧氏几何会做出如此解答，那是因为，在欧氏几何中，一条无穷长的线（非曲线）要么就是直线（没有端点），要么就是射线（只有一个端点），但是如果一条无限长的线有两个端点，这在欧氏几何中是解释不通的。
在欧氏几何中，一条直线有两个端点即意味着该条线的长度不是无限的，而是有限的。
在欧氏几何的理论下，便会出现如思想实验（三）射线与铁环悖论所述的，当时间为1分钟时铁环跑出射线之外的逻辑矛盾。
欧氏几何认为线段AB在无限延长的过程中，B点是动态的，不固定的，所以就等同于该延长的线没有端点B点，这就如同说：一个人在跑步，因为他的位置是动态的，不固定的，所以他跑着跑着就会神秘的消失。
或者用另一个比喻是：线段AB的B点处蹲着一只猴子永远不动，当线段AB无限延长时，蹲在B点处的猴子便会神秘的消失。
由此看来，欧氏几何在对于无限问题的处理上，总是在不经意间会忽然冒出来一个莫名其妙的，难以解释的逻辑矛盾。
而在《相对几何》中，不会出现这种莫名其妙的“端点消失论”。

门外汉

(第33节）思想实验（十四）：无限长的影子悖论
实验设定：首先取一根1米长的木棍水平摆放，设木棍为L，在木棍的后方点亮一盏灯，在木棍的前方放一个超级大的黑板，于是木棍的影子就会在灯光的照射下投射到黑板上，设木棍L的影子为L′。
    假设现在木棍L在黑板上投射的影子L′为2米，将黑板慢慢的向后移动，于是影子L′就会变得越来越长，越来越长，变成10米、200米、8000米……
    前面假设，这块黑板是超级大的，不考虑任何物理因素，令黑板飞快地向后移动无限远离木棍，问，L′能无限延长吗？
    对于这个问题，欧氏几何的解答便会陷入于自相矛盾之中：假设L′不能无限延长，则L′的长度会终止于某一个有限的长度，但这个有限的长度显然是不存在的，所以L′会无限延长。
    但如果L′能无限延长，则L′会成为一条直线，但L′永远会有两个端点，于是L′会成为一条带有两个端点的直线，这个结论与《相对几何》的结论不谋而合，但在欧氏几何之中却是一个矛盾，因为在欧氏几何中，直线是可以无限延长的，但如果直线有两个端点，则说明直线的长度是有限的，不能无限延长。
欧氏几何对此问题的另一个解释是：木棍的影子可以无限延长，但在无限延长的过程中，影子的两个端点会消失。
总之，欧氏几何对于此问题的解答自相矛盾，难以自圆其说。
而《相对几何》对于此问题的解答是：木棍的影子可以无限延长，而且影子的两个端点永远都在，不会莫名其妙的消失。

门外汉

（第34节）思想实验（十五）：无限长的影子悖论（二）
此实验是思想实验（十四）的一个变体。
实验设定：首先取一根1米长的木棍水平摆放，设木棍为L，在木棍的后方点亮一盏灯，在木棍的前方放置黑板，于是木棍的影子就会在灯光的照射下投射到黑板上，设木棍L的影子为L′。
    在灯与木棍距离永远保持不变的情况下，如果黑板离木棍越远，则木棍在黑板上的影子L′就会越长。
    现在假设离木棍无穷远处有一块无穷大的黑板，在不考虑任何物理因素，只单从纯数学的角度来考虑，问:木棍L的影子L′会投射到黑板上吗？
这个问题在欧氏几何的解答中会陷入于自相矛盾之中
分两种情况来进行讨论:
    第一种情况是:因为黑板与木棍的距离是无穷远，所以木棍L的影子L′不会投射到黑板上，但这里对于欧氏几何来说便出现了一个矛盾，因为灯光照射木棍两个端点形成的连线可以看做是两条无限延长的射线，如果这两条射线不能延伸到无穷远处，则说明这两条射线的长度是有限的，这明显与欧氏几何中射线的定义相矛盾。
    第二种情况:如果木棍L的影子L′会投射到黑板上，则L′的长度是无限长，相应的，灯光照射木棍左侧端点A会在黑板上有一个投影A′，灯光照射木棍右侧端点B会在黑板上有一个投影B′，A′与B′之间的连线便是L′的整体长度，如前所述，L′的长度是无限长的，而A′和B′是L′的两个端点，也就是说L′是有2个端点的无限长的直线，这与《相对几何》的观点不谋而合，但在欧氏几何之中却是一个矛盾。
    综上所述，这个问题在欧氏几何之中无论怎么解答都会存在难以解释的逻辑矛盾。
而在《相对几何》之中，便不会存在任何逻辑矛盾，因为在《相对几何》之中,允许存在两个端点的无限长的直线,而且存在不同长度的无限长直线,所以解答此问题不存在逻辑矛盾。

门外汉

（第35节）思想实验（十六）：神奇消失的线段
此实验是思想实验（十三）“端点消失论”的一个变体。
实验设定：设一条1米长的绿线段和一条1米长的红线段，两条线段首尾相连拼接成一条2米长的线段，绿线段在左，红线段在右。
    现在令绿线端向右端无限延长，而红线段的长度永远保持不变，于是绿线段越来越长，推动红线段飞快向右移动。
当绿线段无限延长时，在欧氏几何之中会发生什么情况？
在欧氏几何中，当绿线段无限延长时，红线段便会神奇的消失，这是因为，当绿线段无限长，会变成一条射线，此时如果红线段不消失，则红线段便会成为绿线段（射线）的第二个端点，但在欧氏几何之中射线不存在第二个端点，于是红线段只能莫名其妙的消失。
    而且不光是红线段会莫名其妙的消失，绿线段的右侧端点也会莫名其妙的消失，因为如果绿线段的右侧端点不消失，则绿线段就会变成一条有两个端点的无限长的线段，所以它的右侧端点必须消失。
    更进一步：如果令红线段和绿线段同时无限延长，则红线段和绿线段会同时消失。
由此看来，欧氏几何在处理无限有关的问题时，经常会在不经意间莫名其妙的冒出来一个难以解释的逻辑矛盾。
而《相对几何》不会出现这些逻辑矛盾，所以《相对几何》创建的初衷就是建立一个无矛盾的、逻辑自洽的数学体系，这就是《相对几何》对比于欧氏几何的具大优势。

门外汉

（第36节）思想实验（十七）：无穷大三角形悖论
实验设定：
建立一个平面直角坐标系，X轴和Y轴的交点（原点）为O，在平面直角坐标系的第一象限做一个等边三角形ABC，三角形的A点与坐标系的原点O点重合，等边三角形的底边AB与X轴的正半轴重合，AC为第一象限60度角，因为是等边三角形，所以有AB＝BC＝CA。
现在令等边三角形的底边AB不断延长，相应的，三角形的另两条边BC和CA也不断延长，于是，等边三角形ABC就会变得越来越大，越来越大，以至于无穷。
现在的问题是：等边三角形的底边AB能完全覆盖平面直角坐标系X轴的正半轴吗？
关于这个问题，有两种可能，一种可能是AB不能完全覆盖X轴的正半轴，则AB会终止于某一个有限的长度不再延长，但这个终止的有限长度显然是不存在的，所以AB会无限延长，并完全覆盖X轴的正半轴。
但如果等边三角形的底边AB能够完全覆盖X轴的正半轴，则AB的长度是无限长的，又因为AB＝BC＝CA，所以等边三角形的三角边的长度皆为无限长，所以三角形ABC是一个无穷大三角形。
则等边三角形ABC的三条无限长的边：AB无限长，并且有两个端点，BC无限长，并且有两个端点，CA无限长，并且有两个端点。由此证明《相对几何》中的重要推论：无限长的线可以存在两个端点。

门外汉

（第37节）思想实验（十八）：用科赫雪花找到射线的第二个端点
1904年，瑞典数学家科赫创造了一种以他名字命名的分形图案——“科赫雪花”。其构造过程如下：首先，从一个边长为1的等边三角形开始，然后进行一系列的迭代修改。在每一步中，都将三角形的每条边三等分，并以中间一段为边向外绘制一个小的等边三角形，随后去除原边长的中间一段，从而形成了一个拥有3×4条边的复杂多边形。
    无限重复此过程，边数将无限增加，所得到的多边形将拥有无数条边，其边缘细节无比精细，形似一朵精美的雪花。因此，这种分形图案被称为“科赫雪花”，同时也被称为“科赫曲线”。
    科赫雪花展示了一种令人惊叹的数学特性：尽管其面积有限，但其周长却趋于无穷大。
    在这里，我们知道了科赫雪花的两个特性:（1）:科赫雪花是封闭的曲线，（2）:科赫雪花的周长为无穷大。
    利用科赫雪花的这两个特性，便可以据此找到射线的第二个端点。
      在介绍此方法之前，先说一个在数学上显而易见的推论:任何一个封闭曲线图形，都可以延展成为一条直线（线段）。
     例如:一个封闭的圆形，在任意一点断开，都能延展成为一条直线（线段）。又例如，一个封闭的三角形或四边形或复杂结构的多边形，在任意一点断开，都能延展成为一条直线（线段）。
     因为科赫雪花是封闭的曲线，所以从科赫雪花的任意一点断开，也能延展成为一条直线（线段）。
     又因为科赫雪花的周长无限长，所以科赫雪花延展之后是无限长的直线。
    假设从科赫雪花的某一点A处断开延展，则相当于是延展为一条射线，A点为射线的端点，与A点的连接处（或者说A点的邻域）便是射线的末端，既然找到了射线的末端，便可以确定该射线的第二个端点。
所以，科赫在构造不可思义的科赫雪花的同时，也无意间构造了不可思义的射线的第二个端点，颠覆传统欧氏几何。