证不等式：√(x^2+y^2)+√[(x-2)^2+y^2]+√[x^2+(y-1)^2]+√[(x-2)^2+(y-1)^2]≥2√5

波斯猫猫

Ysu2008

原式左端等价于 \(\sqrt{\left( x-0\right)^2+\left( y-0\right)^2}+\sqrt{\left( x-2\right)^2+\left( y-0\right)^2}+\sqrt{\left( x-0\right)^2+\left( y-1\right)^2}+\sqrt{\left( x-2\right)^2+\left( y-1\right)^2}\)
该式的几何意义就是在\(A\left( 0{,}0\right){,}B\left( 2{,}0\right){,}C\left( 2{,}1\right){,}D\left( 0{,}1\right)\)四点构成的\(1\times2\)矩形内一点\(P\)到矩形四个顶点的距离之和；


如图,
\(\begin{cases}
PA+PC\ge AC\\
PB+PD\ge BD
\end{cases}\Rightarrow PA+PC+PB+PD\ge AC+BD=\sqrt{1^2+2^2}+\sqrt{1^2+2^2}=2\sqrt{5}\)
\(\therefore\sqrt{\left( x-0\right)^2+\left( y-0\right)^2}+\sqrt{\left( x-2\right)^2+\left( y-0\right)^2}+\sqrt{\left( x-0\right)^2+\left( y-1\right)^2}+\sqrt{\left( x-2\right)^2+\left( y-1\right)^2}\ge2\sqrt{5}\)

波斯猫猫

波斯猫猫

除构造法外，可有其它方法？

波斯猫猫

luyuanhong

楼上 Ysu2008、波斯猫猫 的解答已收藏。