颠覆欧氏几何：用“科赫雪花”找到射线的第二个端点

门外汉

1904年，瑞典数学家科赫创造了一种以他名字命名的分形图案——“科赫雪花”。其构造过程如下：首先，从一个边长为1的等边三角形开始，然后进行一系列的迭代修改。在每一步中，都将三角形的每条边三等分，并以中间一段为边向外绘制一个小的等边三角形，随后去除原边长的中间一段，从而形成了一个拥有3×4条边的复杂多边形。
无限重复此过程，边数将无限增加，所得到的多边形将拥有无数条边，其边缘细节无比精细，形似一朵精美的雪花。因此，这种分形图案被称为“科赫雪花”，同时也被称为“科赫曲线”。
科赫雪花展示了一种令人惊叹的数学特性：尽管其面积有限，但其周长却趋于无穷大。
在这里，我们知道了科赫雪花的两个特性:（1）:科赫雪花是封闭的曲线，（2）:科赫雪花的周长为无穷大。
利用科赫雪花的这两个特性，便可以据此找到射线的第二个端点。
在介绍此方法之前，先说一个在数学上显而易见的推论:任何一个封闭曲线图形，都可以延展成为一条直线（线段）。
例如:一个封闭的圆形，在任意一点断开，都能延展成为一条直线（线段）。又例如，一个封闭的三角形或四边形或复杂结构的多边形，在任意一点断开，都能延展成为一条直线（线段）。
因为科赫雪花是封闭的曲线，所以从科赫雪花的任意一点断开，也能延展成为一条直线（线段）。
又因为科赫雪花的周长无限长，所以科赫雪花延展之后是无限长的直线。
假设从科赫雪花的某一点A处断开延展，则相当于是延展为一条射线，A点为射线的端点，与A点的连接处（或者说A点的邻域）便是射线的末端，既然找到了射线的末端，便可以确定该射线的第二个端点。所以，科赫在构造不可思义的科赫雪花的同时，也无意间构造了不可思义的射线的第二个端点，颠覆传统欧氏几何。